Симетричність вибірки

Якщо випадкова величина  має симетричний розподіл, то слід сподіватися, що вибірка, отримана при дослідженні , також симетрична, тобто “симетрично” розсіяна навколо деякого центру. Ознакою симетричності вибірки є так зване емпіричне правило Юла: симетрична вибірка повинна мати одну моду, яка може бути обчислена за формулою:

(4.8)

Для конкретності наближену рівність розуміємо так: вибіркова мода відрізняється від моди, отриманої за формулою (4.2), не більше, ніж на 10% від середнього квадратичного відхилення.

Завдання до лабораторної роботи №4

Зауваження. Для виконання роботи використовувати вибірку з лабораторної роботи №1.

1. Обчислити за незгрупованою та згрупованою вибіркою , S², S, m₂, , med, mod, . Згруповану вибірку взяти із лабораторної роботи №2 (завдання №1).

2. Результати обчислень занести в таблицю:

S2

S

m2

med

mod

незгр

згруп

незгр

згруп

незгр

згруп

Негр

згруп

незгр

згруп

незгр

згруп

незгр

згруп

незгруп.

згруп.

3. Оцінити за правилом Юла симетричність вибірки.

Контрольні питання до лабораторної роботи №4

1. Що таке статистична оцінка числового параметру випадкової величини?

2. Назвіть відомі вам критерії якості статистичних оцінок.

3. Що таке збіжність за імовірністю?

4. Чому статистичну оцінку ми вважаємо випадковою величиною?

5. Що таке статистика?

6. Які числові параметри можуть прийматися за центр розсіювання випадкової величини?

7. Що таке математичне сподівання випадкової величини? Сформулюйте основні властивості математичного сподівання.

8. Яку статистику приймають за оцінку математичного сподівання?

9. Довести, що величина , обчислена за формулою (4.1), є обґрунтованою незсуненою оцінкою математичного сподівання.

10. Що таке дисперсія? Назвіть основні властивості дисперсії. Що характеризує дисперсія? Як оцінити її за вибіркою?

11. Які статистики наближують середнє квадратичне відхилення?

12. Що таке медіана випадкової величини? Як оцінюється медіана за вибіркою?

13. Що таке мода випадкової величини?

14. Що є ознакою симетричності вибірки?

15. Назвіть відомі вам методи точкового статистичного оцінювання та сформулюйте, в чому саме вони полягають.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5

Тема : Статистичні оцінки квантилів

Мета роботи : Навчитися оцінювати квантилі та процентилі розподілів за вибірковими даними

Теоретичні відомості.

Означення. Квантилем рівня  ( 0 <  < 1 ) у випадку неперервних розподілів називається число U_, яке є найменшим розв’язком рівняння = , де – функція розподілу досліджуваної випадкової величини.

Геометрично це означає, що квантиль рівня  - це найменша з абсцис точок перетину прямої у= з графіком функції у= (рис.5.1).

Зауваження. При означенні квантиля рівня  слова “найменший розв’язок” необхідно для усунення неоднозначності, яка може виникати при розв’язанні рівняння = . Так, наприклад, графіки функцій у= та у= можуть мати нескінченну множину спільних точок (тобто рівняння у= має нескінченну кількість розв’язків), в той час як квантиль рівня  визначається однозначно.

Рис. 5.1

Означення. Процентилем рівня  ( 0 <  < 100 ) називається число Q_, яке зв’язано з квантилем співвідношенням: Q_= U_(/100)

Так, наприклад, Q₃₀= U_0,3; Q₅₀= U_0,5.

Вибірковий квантиль рівня  - це число , яке має ту властивість, що приблизно -частина вибіркових даних менше за число . Аналогічну властивість має вибірковий процентиль : менше за приблизно % вибірки. Дане означення вибіркового квантиля (процентиля) пов’язане з тією властивістю теоретичного квантиля, що для неперервної випадкової величини  квантиль рівня  задовольняє умові: P( <U_ ) = ,

тобто імовірність того, що випадкова величина  під час експерименту прийме значення менше за число U_, дорівнює . (Наприклад, якщо U_0,3=-7, то P( <-7 ) = 0,3.)

Вибіркові квантилі (процентилі) () є наближенням для теоретичних квантилів U_ (процентилів Q_).

Знаходження вибіркових квантилів (процентилів)

- за незгрупованою вибіркою

Для знаходження вибіркового квантиля (процентиля) рівня  треба спочатку знайти ранг цього квантиля (процентиля). В літературі можна знайти різні вирази з цього приводу. В даній роботі рекомендуються наступні формули:

(для квантилів) (5.1)

(для процентилів) (5.2)

де – об’єм вибірки.

Наприклад, якщо =0,3, n=80, то маємо: .

Якщо ранг вибіркового елемента відомий, то легко знайти відповідний вибірковий елемент (див. лаб. роботу №1).

- за згрупованою вибіркою

Будемо знаходити вибіркові квантилі (процентилі) графічним способом. Для цього використаємо графік кумулятивної функції розподілу відносних частот (див. лаб. роботу №3). На рівні, що відповідає заданому числу , проведемо пряму у= до перетину з кумулятою. Найменша з абсцис точок перетину графіків – шуканий квантиль (див. рис. 5.1).

Зауваження. При проведенні прямої у= необхідно узгодити рівень  з одиницями, в яких проградуйована вісь Оу. Якщо вісь Оу проградуйована в процентах, то  - рівень квантиля – необхідно помножити на 100, а рівень процентиля залишити без змін.

Завдання до лабораторної роботи №5

Зауваження. Для виконання роботи використовувати вибірку з лабораторної роботи №1.

1. Знайти ранги , , , .

2. Знайти по незгрупованій вибірці , , , .

3. Знайти графічно по згрупованій вибірці , , , .

4. Результати занести в таблицю:

Незгрупована вибірка
Згрупована вибірка

Контрольні питання до лабораторної роботи №5

1. Що таке квантиль (процентиль) рівня  у випадку неперервних розподілів?

2. Який статистичний та імовірнісний зміст квантиля рівня ?

3. Як зв’язані між собою квантилі і процентилі?

4. Яка частина вибірки лежить між числами і ?

5. Якому методу статистичного точкового оцінювання відповідає графічний спосіб за згрупованою вибіркою?

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6

Тема : Інтервальні оцінки параметрів нормально розподіленої випадкової величини

Мета роботи : Навчитися будувати довірчі інтервали різних рівнів для невідомих математичного сподівання та дисперсії нормально розподіленої випадкової величини.

Теоретичні відомості.

У попередній роботі вивчалися точкові оцінки невідомих числових параметрів випадкової величини, тобто оцінки, що задавалися одним числом. Якщо оцінка ^* наближувала параметр , то виникало питання, наскільки точне це наближення, тобто яке відхилення ^* від . Додатнє число , для якого виконується рівність | ^*-  | <  характеризує точність оцінки ^* для параметру . Чим менше число , тим краще оцінка ^* наближує . Але ^* - випадкова величина, та й параметр  невідомий. Тому про нерівність | ^*-  | <  (або її еквівалент ^*-  <  < ^* + ) можна говорити лише з деякою імовірністю. Треба навчитися будувати інтервали, які накриють шукані параметри з потрібною імовірністю.

Означення. Довірчим інтервалом рівня  (0 <  < 1) для невідомого параметру  називають числовий інтервал [x₁, x₂], який накриває невідомий параметр  з імовірністю (1-), тобто

P{   [x₁, x₂] } = 1- (6.1)

Число (1-) називають надійністю, або довірчою імовірністю відповідного інтервалу.

При побудові довірчих інтервалів число  задається заздалегідь. Найчастіше за  береться одне з чисел =0,1 або =0,05 або =0,01. Тоді відповідні надійності: 0,9 або 0,95 або 0,99. Відзначимо, що інтервальні оцінки невідомих параметрів задаються двома числами x₁, x₂ - початком і кінцем інтервалу, якому повинен належати невідомий параметр з відповідною імовірністю.

Означення. Нехай ₁, ₂, ... , _n – незалежні за означенням випадкові величини, кожна з яких має розподіл N(0;1). Тоді, за означенням, випадкова величина  = ₁² + ₂² + ... + _n² має розподіл ² з n ступенями волі (позначення  ~ _n²).

Означення. Нехай ₁ та ₂ - незалежні випадкові величини, причому ₁ ~ N(0;1), а ₂ ~ _n². Тоді, за означенням, випадкова величина має розподіл Стьюдента з n ступенями волі (позначення  ~ t_n).

Побудова довірчих інтервалів для невідомих математичного сподівання та дисперсії нормально розподіленої випадкової величини базується на теоремі:

Якщо x₁, x₂, …, x_n - вибірка, отримана при дослідженні випадкової величини x ~ N(μ; σ), то:

1) статистики та S² - незалежні

(нагадаємо, що ; ) ;

2) ; 3) .

За допомогою цієї теореми легко довести, що за умови вивчення випадкової величини x ~ N(μ; σ) :

а) довірчим інтервалом рівня a для математичного сподівання є інтервал

,

де - квантиль рівня 1-/2 розподілу Стьюдента з n-1 ступенями волі;

б) довірчим інтервалом рівня a для дисперсії є інтервал

,

де - квантиль рівня 1-/2 розподілу ² з n-1 ступенями волі.

Завдання до лабораторної роботи № 6

1. Отримати вибірку згідно своєму варіанту (див. додаток 2 до методичних вказівок).

2. Обчислити , S², S.

3. Знайти довірчі інтервали рівня 0,05 та 0,1 для невідомого математичного сподівання (для знаходження квантилів t-розподілу див. додаток 3).

4. Знайти довірчі інтервали рівня 0,05 та 0,1 для невідомої дисперсії (для знаходження квантилів ²-розподілу див. додаток 4).

5. Результати обчислень занести в таблицю:

N		S2					A	B

Контрольні питання до лабораторної роботи №6

1. Що таке інтервальна оцінка? Чим вона відрізняється від точкової?

2. Як розуміти термін “точність оцінки”? Чому про точність інтервальної оцінки можна говорити лише з деякою імовірністю?

3. Що таке довірчий інтервал рівня  для невідомого параметра?

4. Пояснити зміст рівності (6.1).

5. За допомогою якої теореми будуються довірчі інтервали для невідомих математичного сподівання та дисперсії нормально розподіленої випадкової величини?

6. Як знайти вибіркову дисперсію, якщо відомі відповідні довірчі інтервали та об’єм вибірок?

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7

Тема : Перевірка статистичних гіпотез . Гіпотези відносно імовірностей та середніх значень

Мета роботи : Ознайомитися з задачами перевірки статистичних гіпотез на простих прикладах перевірки гіпотез відносно імовірностей та середніх значень.