![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Докажите, что если последовательность точек
метрического пространства
сходится к точке
, то любая ее подпоследовательность сходится к той же точке
.
-
Верно ли, что множество значений сходящейся последовательности точек любого метрического пространства является ограниченным множеством.
-
На множестве точек
-мерного пространства
, расстояние между точками
и
задается формулой
. Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.
-
Приведите пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке отрезка
, но расходящейся в пространстве
непрерывных на отрезке
функций с метрикой
.
-
На множестве всех ограниченных числовых последовательностей
расстояние между точками
и
задается формулой
. Докажите, что из сходимости по метрике этого пространства вытекает покоординатная сходимость. Верно ли обратное утверждение?
-
Докажите, что сходимость в пространстве
всех числовых последовательностей
с метрикой
равносильна покоординатной сходимости.
-
Приведите пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в функциональном пространстве
с метрикой
, но расходящейся в каждой точке отрезка
.
-
В пространстве, описанном в задаче 6.104, задана последовательность
. Является ли эта последовательность сходящейся в данном пространстве? Если да, то к какой точке?
-
Приведите пример последовательности функций, принадлежащих пространству
, сходящейся в пространстве
, но расходящейся в пространстве
.
§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
Литература: [1], глава VIII, § 2, глава IX, § 3.
Задачи § 7 способствуют более глубокому усвоению таких основных понятий теории функций, как отображение и непрерывность отображения. Студент должен увидеть, что эти понятия являются распространением известных ему понятий числовой функции и ее непрерывности на случай произвольных метрических пространств. Геометрические образы рассматриваемых понятий помогут ему яснее представить структуру определений.
-
Приведите примеры отображений:
а)
;
б)
;
в)
.
-
Является ли отображением соответствие, заданное уравнением
,
если:
а)
;
б)
?
-
Отображение
задано формулой
. Найдите:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
-
Для отображения
, заданного формулой
, найдите: а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
.
-
Для функционала
, заданного формулой
, найдите:
а) образ окружности
;
б)
;
в) прообраз луча
.
-
Для функционала
, заданного формулой
, найдите:
а) образ точки
;
б) прообраз луча
.
-
Задано отображение
пространства
в себя. Найдите: а) образ точки
; б) прообраз точки
; в) образ прямой
; г) прообраз оси абсцисс.
-
Задайте какое-либо отображение
и найдите: а) образ точки 1; б) прообраз точки (5;7).
-
Функционал
задан формулой
. Найдите:
а) образ точки
;
б) какую-либо точку из прообраза точки 3.
-
Функционал
задан формулой
. Найдите:
а)
;
б) какие-либо две точки из прообраза
.
-
Установите, существует ли значение
, при котором отображение
, заданное формулами
непрерывно.
Сделайте чертеж.
-
Установите, существуют ли значения
и
, при которых отображение
, заданное формулами
непрерывно.
Сделайте чертеж.
-
Функционал
задан формулой
. Пользуясь определением непрерывности в точке по Гейне, докажите, что он непрерывен в пространстве
.
-
Функционал
задан формулой
. Пользуясь определением непрерывности в точке по Коши, докажите, что он непрерывен в пространстве
.
-
Функционал
задан формулой
, где точка
- некоторые заданные числа (
). Докажите, что он непрерывен в пространстве
.
-
Функционал
задан формулой
(
- метрическое пространство всех непрерывных на отрезке
функций, где за расстояние между функциями
и
принято число
). Выясните, является ли данный функционал непрерывным в точке
.
-
Отображение
подпространства
, состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство
задано формулой
. Выясните, является ли это отображение непрерывным в точке
.
-
Верно ли, что при непрерывном отображении образ открытого множества является открытым множеством?
-
Верно ли, что при непрерывном отображении образ замкнутого множества является замкнутым множеством?
-
С помощью теоремы о необходимом и достаточном условии непрерывности отображения одного метрического пространства в другое, докажите, что множество
, определяемое неравенством
, открыто.