![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
Литература: [1], глава II, §§ 1-3.
Задачи этого параграфа позволят студенту глубже усвоить понятие измеримой по Лебегу функции на некотором множестве; научиться доказывать различные свойства измеримых функций, используя определение измеримой функции.
Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §11, что поможет осознать связь между измеримостью множеств и измеримостью функций.
-
Выясните, измерима ли функция
на множестве
, если функция
измерима на этом множестве.
-
Верно ли, что если функция
измерима на множестве
, то и функция
также измерима на этом множестве? Справедливо ли обратное утверждение?
-
Докажите, что если функция
измерима на множестве
, то и функция
также измерима на этом множестве. Верно ли обратное утверждение?
-
Покажите, что если функции
и
измеримы на множестве
, то и функции а)
; б)
также измеримы на этом множестве.
-
Следует ли из измеримости функций
,
и
, измеримость функций
и
?
-
Докажите, что если функции
и
измеримы на множестве
, то функции
а)
;
б)
также измеримы на
множестве
.
-
Докажите, что если функция
измерима на всяком отрезке
, то она измерима и на всем отрезке
.
-
Докажите, что если функция
дифференцируема на отрезке
, то производная функция
измерима на этом отрезке.
-
Пусть функция
измерима на множестве
. Выясните, будет ли для произвольно заданных чисел
, где
, измерима на множестве
функция
.
-
Измерима ли функция
, равная
во всех точках канторова множества
и равная
во всех остальных точках отрезка
?
-
Пусть
– характеристическая функция множества рациональных чисел, то есть
. Докажите, что ее произведение на любую функцию есть функция измеримая.
-
Пусть функция
измерима на множестве
,
– произвольное открытое или замкнутое множество на числовой прямой. Докажите, что прообразом множества
во всех этих случаях является измеримое подмножество множества
.
Дополнительные задания
-
Докажите, что если
– измеримое множество, то характеристическая функция
измерима. Если же
– неизмеримое множество, то
– неизмеримая функция.
-
Является ли измеримой функцией сумма сходящегося на отрезке
ряда измеримых функций?
-
Пусть
– измеримая на множестве
функция,
– множество ее значений, а
– функция, непрерывная на
. Выясните, является ли измеримой на множестве
сложная функция
.
-
Пусть
измерима на множестве
,
– измеримое подмножество множества
. Обязано ли множество
быть измеримым? Если нет, то приведите соответствующий пример.
-
Пусть
– функция, непрерывная на отрезке
,
– множество ее значений, а
– функция, измеримая на
. Обязана ли быть измеримой на множестве
сложная функция
?