- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Литература: [1], глава II, §§ 1-3.
Задачи этого параграфа позволят студенту глубже усвоить определение понятия интеграла Лебега, его свойства; понять связь между интегралами Римана и Лебега; научиться вычислять интегралы Лебега.
Содержание задач связано с материалом предыдущих параграфов, что дает возможность повторить такие понятия, как мера множества, измеримая функция, канторово множество и др.
-
Покажите, пользуясь определением, что функция , определенная и ограниченная на множестве нулевой меры, интегрируема по Лебегу на и .
-
Покажите, пользуясь определением, что функция , принимающая постоянное значение на измеримом множестве , интегрируема на , и .
-
Пусть функция ограничена и измерима на множестве . Докажите, что .
-
Докажите, что функция Дирихле не интегрируема по Риману на отрезке , но интегрируема по Лебегу на этом множестве и .
-
Выясните, интегрируема ли функция по Лебегу на отрезке . Чему равен интеграл ?
-
Выясните, интегрируема ли функция по Риману на отрезке . Если да, то вычислите .
-
Докажите, что функция при интегрируема на отрезке по Лебегу, и найдите интеграл.
-
Выясните, интегрируема ли по Лебегу функция на отрезке ?
-
Докажите, опираясь на свойства интеграла Лебега, что существует и вычислите его, если:
а) ; б) ;
в) , где – множество алгебраических чисел из , а ;
г) .
-
Докажите, что функция , равная 0 на канторовом множестве и 2 в остальных точках отрезка , интегрируема по Лебегу на этом отрезке. Вычислите интеграл.
-
Докажите, что следующие функции интегрируемы по Лебегу на отрезке и вычислите интегралы:
а) , где – канторово множество, а – его дополнение до всего отрезка ;
б) ;
в) .
13.231. Вычислить интеграл Лебега от функции на отрезке , если в точках – дополнения канторова множества до отрезка , а на смежных интервалах канторова множества графиком функции служат верхние полуокружности, опирающиеся на эти интервалы, как на диаметры.
-
Множество получено из отрезка удалением интервалов . Покажите, что функция интегрируема по Лебегу на множестве .
-
Вычислите , если , где – канторово множество, а – его дополнение до всего отрезка .
Дополнительные задания
-
Покажите, что если где на отрезке , то почти всюду.
-
Почему не может существовать измеримой на и ограниченной функции, удовлетворяющей условию ?
-
Пусть . Покажите, что производная не интегрируема по Риману на .