![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Пусть К – множество всех кривых Г, изображающих реки на данной карте. Определим расстояние между реками как длину самого короткого отрезка соединяющего кривые (реки). Определите, является ли данное множество с введенным на нем таким образом расстоянием метрическим пространством.
-
Пусть Мn – множество всевозможных n буквенных слов, составленных из букв русского алфавита. Назовем расстоянием между словами x и y количество позиций, на которых у слов стоят разные буквы. Докажите, что построенное пространство является метрическим.
-
Проверьте, что множество полей шахматной доски образует метрическое пространство, если за расстояние от одного поля до другого принять наименьшее число ходов, которое потребуется королю, чтобы перейти с первого поля на второе. Докажите это утверждение, заменив короля ладьей, конем.
-
Является ли метрическим пространство всех прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если расстояние между двумя прямыми
;
, где
, определить по формуле
?
-
Пусть функция
определена и возрастает на промежутке
, равна нулю в точке x=0, причем
для любого
и
из
. Докажите, что если
- метрика на некотором множестве A, то
также является метрикой на том же множестве A.
-
Пусть
метрики на множестве M. Докажите, что для любых положительных чисел
функция
также является метрикой на множестве M.
-
Пусть на множестве M задана последовательность метрик
и пусть
последовательность положительных чисел. Докажите, что если ряд
сходится для любой пары элементов x,y из M, тогда его сумма
является метрикой на множестве M.
-
Пусть A – какое-либо множество с заданным в нем расстоянием
; пусть некоторое подмножество Е множества А оказалось метрическим пространством с расстоянием
. Можно ли утверждать, что и множество А является метрическим пространством?
-
Выясните, будет ли метрическим пространством множество
, точками которого являются всевозможные последовательности действительных чисел
, для которых
, если метрику задать формулой
.
-
Выясните, будет ли метрическим пространством множество
, точками которого являются всевозможные последовательности действительных чисел
, для которых
, если метрику задать формулой
.
§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
Литература: [1], глава II, §§ 1-3.
Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить классификацию точек метрического пространства по отношению к данному множеству, а также классификацию самих множеств в метрических пространствах; понять те соотношения, в которых находятся множества.
Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §3, что позволит студенту посмотреть на свойства бесконечных множеств с разных точек зрения.
-
Верно ли, что в пространстве
:
а)
-
предельная точка отрезка
;
б)
-
предельная точка интервала
;
в)
-
предельная точка множества
;
г)
-
предельная точка множества
?
-
Приведите пример множества в пространстве
, у которого:
а)
-
предельная точка, и оно содержит ее;
б)
-
предельная точка, но оно не содержит
ее;
в) все точки – предельные;
г)
-
изолированная точка;
д) все точки – изолированные;
е) изолированных точек нет.
-
В пространстве
заданы множества:
Укажите для каждого
из них множество его предельных точек
(производное множество
).
Являются ли данные множества замкнутыми?
Какие из перечисленных множеств
совершенны?
-
Постройте в пространстве
множество
, для которого:
а)
;
б)
;
в)
.
-
Выясните, будет ли замкнутым в любом метрическом пространстве конечное множество точек
.
-
Выясните, является ли замкнутым множеством область определения функции: а)
; б)
.
-
Выясните, является ли замкнутым множество значений функции: а)
; б)
.
-
В пространстве
заданы множества:
.
Постройте эти множества.
Укажите для каждого из них производное множество.
Являются ли данные множества: а) замкнутыми; б) совершенными?
-
Является ли замкнутой в
область определения функции
?
-
Является ли замкнутым в пространстве
множество точек
с положительными координатами?
-
Выясните, будет ли замкнутым в пространстве
множество
, состоящее из точек, все координаты которых рациональные числа.
-
На множестве рациональных чисел
введем метрику
. Будут ли в полученном пространстве
замкнутыми следующие множества:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
?
-
Пусть
. Выясните, будут ли истинными следующие высказывания:
а) если множество
содержит хотя бы одну свою предельную
точку, то оно имеет мощность континуума
(
);
б) если мнлжество
замкнуто, то оно имеет мощность континуума;
в) если множество
имеет мощность континуума, то оно
замкнуто.
-
Докажите, что всякое линейное непустое совершенное множество, содержащее некоторый отрезок, имеет мощность континуума.
-
Выясните, может ли множество предельных точек счетного множества иметь мощность континуума.
-
В пространстве
даны множества:
Укажите для
каждого из них множество внутренних
точек (),
граничных (
)
и внешних.
-
Докажите, что точка
является внутренней точкой множества
значений функции
.
-
Какие из множеств задачи 16 являются открытыми?
-
Приведите примеры множеств в пространстве
, которые: а) являются открытыми и замкнутыми одновременно; б) не являются ни открытыми, ни замкнутыми.
-
Является ли открытым множеством любой интервал в пространстве: а)
; б)
?
-
Приведите пример: а) объединения бесконечного множества замкнутых множеств, которое замкнутым множеством не является; б) пересечения бесконечного множества открытых множеств, которое открытым не является.
-
Докажите, что любой открытый шар
в любом метрическом пространстве - открытое множество.
-
Докажите, что множество
функций из пространства
, удовлетворяющих на отрезке
неравенству
, где
- некоторые фиксированные числа, открыто.
-
Пусть
- множество функций пространства
таких, что
для
. Внутренней, граничной или внешней точкой для
является функция: а)
; б)
; в)
?
-
Пусть
. Истинны или ложны следующие высказывания:
а) если хотя бы
одна точка множества
является его внутренней точкой, то оно
имеет мощность континуума;
б) если
,
то
-
открытое множество;
в) если
,
то хотя бы одна его точка является
внутренней?