![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Приведите примеры множеств в пространстве
, не имеющих граничных точек.
-
Укажите производное множество открытого круга
с выколотым центром.
-
В пространстве
постройте множество
такое, что
.
-
В пространстве
постройте множество
такое, чтобы множество
состояло из наперед заданных точек
.
-
Может ли множество, состоящее из изолированных точек, иметь предельные точки?
-
Пусть метрическое пространство
состоит из изолированных точек. Выясните, будет ли замкнутым (открытым) всякое множество
.
-
Выясните, всегда ли производное множество любого множества замкнуто.
-
Выясните, в каких случаях множество
является одновременно замкнутым и открытым.
-
Будет ли открытым множество точек
, удовлетворяющих неравенству
(
- фиксированное положительное число,
- любая фиксированная точка), в любом метрическом пространстве
?
-
Выделим в пространстве
множество
всех четных и нечетных функций. Будет ли множество
замкнутым в
?
§ 6. Сходимость в метрических пространствах
Литература: [2], глава III, § 2.
Задачи этого параграфа позволят студенту усвоить понятие сходимости последовательности точек метрического пространства, понять смысл сходимости в различных метрических пространствах, а также установить взаимосвязь между сходимостью по различным метрикам.
-
Привести примеры сходящихся и расходящихся последовательностей в пространстве
.
-
Доказать, пользуясь определением, что в пространстве
последовательность
является сходящейся к точке
.
-
Доказать, пользуясь определением, что в пространстве
последовательность
является сходящейся к точке
.
-
На множестве рациональных чисел
расстояние между точками
и
задается формулой
,
а) доказать, что
-
метрическое пространство;
б) выяснить смысл сходимости в этом пространстве;
в) выяснить, является
ли последовательность
сходящейся в этом пространстве;
г) выяснить, является
ли последовательность
сходящейся в этом пространстве;
д) привести примеры
сходящихся и расходящихся последовательностей
в пространстве
.
-
Доказать, что на множестве точек плоскости функция
задает метрику. Выяснить смысл сходимости в полученном пространстве.
-
Дано метрическое пространство
, где
- множество ограниченных функций на отрезке
. Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.
-
На множестве всех числовых последовательностей
, таких, что ряд
является сходящимся, расстояние между точками
и
задается формулой
.
а) Доказать, что данное множество образует метрическое пространство.
б) Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.
-
Сходятся ли в метрическом пространстве, рассмотренном в предыдущей задаче, к точке
следующие последовательности:
а)
;
б);
в)
;
г)
.
6.106.
Сходятся ли в пространстве
к функции
следующие функциональные последовательности:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
6.107. Докажите, что никакая последовательность точек метрического пространства не может иметь более одного предела.
6.108. Докажите, что
а) если
,
то
;
б) если
и
,
то
.
-
Дано метрическое пространство
, где
- множество функций, непрерывных на отрезке
, и
. Выяснить, сходятся ли к функции
в заданном метрическом пространстве следующие последовательности:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
-
Докажите, что если
- граничная точка для множества
, то из
можно извлечь последовательность точек, сходящуюся к
.
-
Докажите, что предел
сходящейся последовательности точек
из множества
является для
граничной или внутренней точкой.
-
Докажите, что для того, чтобы множество
было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы предел всякой сходящейся последовательности точек из
принадлежал
.