![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Выясните, является ли фундаментальной последовательность
точек метрического пространства
, если ряд
сходится.
-
Докажите, что метрическое пространство, состоящее из всех функций, непрерывных на прямой и равных нулю вне некоторого интервала, с метрикой
не является полным.
-
Верно ли, что пространство
всех функций, имеющих на отрезке
непрерывную производную
-го порядка, с метрикой
является
полным?
-
Докажите, что если последовательность
точек метрического пространства
фундаментальна, то из нее можно выделить такую подпоследовательность
, что ряд
сходится.
-
Выясните, является ли фундаментальной последовательность функций
, где
из пространства
функций, непрерывных на отрезке
с метрикой
.
-
Докажите, что в полном метрическом пространстве
всякая последовательность непустых замкнутых вложенных (
) стягивающихся (последовательность радиусов
стремится к нулю) шаров имеет непустое пересечение, состоящее из единственной точки.
-
Верно ли, что подпространство непрерывно дифференцируемых функций пространства
является полным?
§ 10. Принцип сжимающих отображений
Литература: [1], гл. XVIII, § 4.
Задачи настоящего параграфа должны помочь студенту уяснить понятие неподвижной точки отображения, его связь с алгебраическими и функциональными уравнениями, решаемыми «методом неподвижной точки»; а также глубже понять условия, при которых отображения оставляют неподвижными некоторые точки рассматриваемых метрических пространств.
-
Найдите неподвижные точки отображения
:
, заданного формулой:
а)
;
б).
-
Выясните, имеет ли неподвижные точки отображение
, заданное формулой: а)
; б)
.
-
Имеет ли отображение
, где E – область определения функции
, неподвижные точки?
-
Формулы
задают отображение
. Найдите его неподвижные точки.
-
Выясните, имеет ли неподвижные точки отображение
, заданное формулой: а)
; б)
.
-
Выясните, будет ли сжимающим отображение, описанное в задаче 10.173 .
-
Проверьте, что в пространстве
формула
задает отображение:
а) отрезка
;
б) отрезка
в себя.
Выясните, будут ли отображения сжимающими.
-
Проверьте, что в пространстве
формула
отображает отрезок
в себя. Будет ли это отображение сжимающим?
-
Выясните, является ли в пространстве
сжимающим отображение луча
в себя, заданное формулой
.
-
Выясните, является ли отображение, описанное в задаче 10.174, сжимающим.
-
Докажите, что отображение
, заданное формулой
, является сжимающим.
-
Выясните, будут ли сжимающими отображения, описанные в задаче 10.172 .
-
Пусть
– полное метрическое пространство и задано отображение
. Известно, что для
выполняется соотношение
. Справедлива ли теорема Банаха для таких отображений?
-
а) Докажите, что если функция
отображает отрезок
в себя, дифференцируема на этом отрезке и
для
, то уравнение
имеет на
единственное решение. б) Будет ли справедливо приведенное утверждение для всей числовой прямой?
-
Докажите, что уравнение
имеет на отрезке
единственное решение.
-
Для определения точки орбиты, в которой находится спутник в указанный момент времени, приходится решать уравнение Кеплера
. Докажите, что при любом
и
уравнение имеет единственное решение.
-
Отображение, описанное в задаче 10.173, не имеет неподвижных точек. В то же время оно является сжимающим (результат решения задачи 10.176). Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха?
-
На луче
задана функция
. Покажите, что
а)
;
б) отображение, осуществляемое данной функцией, не имеет неподвижных точек. Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха?