![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Найдите мощность множества всех последовательностей, не содержащих цифру 1.
-
Какова мощность множества действительных чисел, заключенных между 1 и 2, в десятичном разложении которых отсутствует число 3.
-
На плоскости построено множество непересекающихся синусоид. Может ли это множество быть несчетным?
-
Найдите мощность множества эллипсов на плоскости, оси которых совпадают с осями координат.
-
Докажите, что множество всех непрерывных на отрезке
функций имеет мощность континуума.
-
Докажите, что множество всех возрастающих непрерывных на
функций имеет мощность континуума.
-
Докажите, что множество всевозможных последовательностей непрерывных на
функций имеет мощность континуума.
-
Докажите или опровергните утверждение: если множество E на плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале координат, который содержит несчетное множество точек из Е.
-
Найдите мощность множества всех функций, определенных на отрезке
и разрывных хотя бы в одной точке.
§4.Понятие метрического пространства
Литература: [1], глава II, §§ 1-3,
[3], глава VII,§§1,2.
Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить понятия метрики и метрического пространства, свойства метрики; посмотреть на хорошо известные пространства под новым «углом зрения».
-
Пусть M – любое множество. Функция
задана на множестве М следующим образом:
.
Докажите, что
-
метрика на множестве M.
-
Пусть М – множество всех населенных пунктов на левом берегу Енисея. Расстояние от пункта х до пункта y будем измерять временем движения теплохода, имеющего собственную скорость 20 км/ч. Образует ли М вместе с введенным таким образом расстоянием метрическое пространство?
-
Пусть
метрика на множестве М. Докажите, что для любых чисел x, y, z из М верно неравенство
.
-
Докажите, что для любых точек
метрического пространства
выполняется неравенство многоугольника
.
-
Докажите, что для любых точек
метрического пространства
верно неравенство
.
-
Являются ли метриками на множестве R следующие функции:
-
;
б)
;
в)
;
г)
?
-
Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел R с расстоянием
, где функция
задана следующим образом:
-
;
б)
;
в)
;
г)
?
-
Являются ли множество R2 метрическим пространством, если расстояние
между точками A(x1,x2) и B(y1,y2) определяется формулой
б)
в)
г)
-
Выясните, является ли метрикой на множестве
функция
,
если
,
.
-
На множестве
задана метрика
такая, что
. Выясните, какие значения может принимать
?
-
Является ли множество
метрическим пространством, если расстояние
между точками
и
определяется формулой
-
;
б)
;
в)
.
-
Будет ли пространство
метрическим, если
- метрика в этом пространстве, а функция
задана следующим образом:
?
-
Является ли пространство
метрическим, если функция
задана следующим образом:
а)
;
б)
;
в)
?
-
Задает ли метрику на пространстве многочленов функция
?
-
Докажите, что множество
с расстоянием
между точками
и
, заданным формулой
, является метрическим пространством.
-
На окружности можно ввести две функции: расстояние r(A,B) по хорде и расстояние по дуге
. Докажите, что обе функции задают метрику. Выразите одну метрику через другую.
-
Выясните, задает ли метрику на множестве непрерывных на отрезке
функций формула
.