Дополнительные задания

1. Докажите, что если последовательность точек метрического пространства сходится к точке , то любая ее подпоследовательность сходится к той же точке .

2. Верно ли, что множество значений сходящейся последовательности точек любого метрического пространства является ограниченным множеством.

3. На множестве точек -мерного пространства , расстояние между точками и задается формулой . Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.

4. Приведите пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке отрезка , но расходящейся в пространстве непрерывных на отрезке функций с метрикой .

5. На множестве всех ограниченных числовых последовательностей расстояние между точками и задается формулой . Докажите, что из сходимости по метрике этого пространства вытекает покоординатная сходимость. Верно ли обратное утверждение?

6. Докажите, что сходимость в пространстве всех числовых последовательностей с метрикой равносильна покоординатной сходимости.

7. Приведите пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в функциональном пространстве с метрикой , но расходящейся в каждой точке отрезка .

8. В пространстве, описанном в задаче 6.104, задана последовательность . Является ли эта последовательность сходящейся в данном пространстве? Если да, то к какой точке?

9. Приведите пример последовательности функций, принадлежащих пространству , сходящейся в пространстве , но расходящейся в пространстве .

§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений

Литература: [1], глава VIII, § 2, глава IX, § 3.

Задачи § 7 способствуют более глубокому усвоению таких основных понятий теории функций, как отображение и непрерывность отображения. Студент должен увидеть, что эти понятия являются распространением известных ему понятий числовой функции и ее непрерывности на случай произвольных метрических пространств. Геометрические образы рассматриваемых понятий помогут ему яснее представить структуру определений.

113. Приведите примеры отображений:

а) ; б) ; в) .

113. Является ли отображением соответствие, заданное уравнением

, если:

а) ;

б) ?

113. Отображение задано формулой . Найдите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

113. Для отображения , заданного формулой , найдите: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

113. Для функционала , заданного формулой , найдите:

а) образ окружности ; б) ; в) прообраз луча .

113. Для функционала , заданного формулой , найдите:

а) образ точки ; б) прообраз луча .

113. Задано отображение пространства в себя. Найдите: а) образ точки ; б) прообраз точки ; в) образ прямой ; г) прообраз оси абсцисс.

114. Задайте какое-либо отображение и найдите: а) образ точки 1; б) прообраз точки (5;7).

115. Функционал задан формулой . Найдите:

а) образ точки ;

б) какую-либо точку из прообраза точки 3.

113. Функционал задан формулой . Найдите:

а) ; б) какие-либо две точки из прообраза .

113. Установите, существует ли значение , при котором отображение , заданное формулами непрерывно.

Сделайте чертеж.

113. Установите, существуют ли значения и , при которых отображение , заданное формулами непрерывно.

Сделайте чертеж.

113. Функционал задан формулой . Пользуясь определением непрерывности в точке по Гейне, докажите, что он непрерывен в пространстве .

114. Функционал задан формулой . Пользуясь определением непрерывности в точке по Коши, докажите, что он непрерывен в пространстве .

115. Функционал задан формулой , где точка - некоторые заданные числа (). Докажите, что он непрерывен в пространстве .

116. Функционал задан формулой ( - метрическое пространство всех непрерывных на отрезке функций, где за расстояние между функциями и принято число ). Выясните, является ли данный функционал непрерывным в точке .

117. Отображение подпространства , состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство задано формулой . Выясните, является ли это отображение непрерывным в точке .

118. Верно ли, что при непрерывном отображении образ открытого множества является открытым множеством?

119. Верно ли, что при непрерывном отображении образ замкнутого множества является замкнутым множеством?

120. С помощью теоремы о необходимом и достаточном условии непрерывности отображения одного метрического пространства в другое, докажите, что множество , определяемое неравенством , открыто.