Дополнительные задания

1. Пусть К – множество всех кривых Г, изображающих реки на данной карте. Определим расстояние между реками как длину самого короткого отрезка соединяющего кривые (реки). Определите, является ли данное множество с введенным на нем таким образом расстоянием метрическим пространством.

2. Пусть М_n – множество всевозможных n буквенных слов, составленных из букв русского алфавита. Назовем расстоянием между словами x и y количество позиций, на которых у слов стоят разные буквы. Докажите, что построенное пространство является метрическим.

3. Проверьте, что множество полей шахматной доски образует метрическое пространство, если за расстояние от одного поля до другого принять наименьшее число ходов, которое потребуется королю, чтобы перейти с первого поля на второе. Докажите это утверждение, заменив короля ладьей, конем.

4. Является ли метрическим пространство всех прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если расстояние между двумя прямыми ; , где , определить по формуле ?

5. Пусть функция определена и возрастает на промежутке , равна нулю в точке x=0, причем для любого и из . Докажите, что если - метрика на некотором множестве A, то также является метрикой на том же множестве A.

6. Пусть метрики на множестве M. Докажите, что для любых положительных чисел функция также является метрикой на множестве M.

7. Пусть на множестве M задана последовательность метрик и пусть последовательность положительных чисел. Докажите, что если ряд сходится для любой пары элементов x,y из M, тогда его сумма является метрикой на множестве M.

8. Пусть A – какое-либо множество с заданным в нем расстоянием ; пусть некоторое подмножество Е множества А оказалось метрическим пространством с расстоянием . Можно ли утверждать, что и множество А является метрическим пространством?

9. Выясните, будет ли метрическим пространством множество , точками которого являются всевозможные последовательности действительных чисел , для которых , если метрику задать формулой .

10. Выясните, будет ли метрическим пространством множество , точками которого являются всевозможные последовательности действительных чисел , для которых , если метрику задать формулой .

§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах

Литература: [1], глава II, §§ 1-3.

Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить классификацию точек метрического пространства по отношению к данному множеству, а также классификацию самих множеств в метрических пространствах; понять те соотношения, в которых находятся множества.

Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §3, что позволит студенту посмотреть на свойства бесконечных множеств с разных точек зрения.

73. Верно ли, что в пространстве :

а) - предельная точка отрезка ;

б) - предельная точка интервала ;

в) - предельная точка множества ;

г) - предельная точка множества ?

73. Приведите пример множества в пространстве , у которого:

а) - предельная точка, и оно содержит ее;

б) - предельная точка, но оно не содержит ее;

в) все точки – предельные;

г) - изолированная точка;

д) все точки – изолированные;

е) изолированных точек нет.

73. В пространстве заданы множества:

Укажите для каждого из них множество его предельных точек (производное множество ). Являются ли данные множества замкнутыми? Какие из перечисленных множеств совершенны?

73. Постройте в пространстве множество , для которого:

а) ; б) ; в) .

73. Выясните, будет ли замкнутым в любом метрическом пространстве конечное множество точек .

74. Выясните, является ли замкнутым множеством область определения функции: а) ; б) .

75. Выясните, является ли замкнутым множество значений функции: а) ; б) .

76. В пространстве заданы множества:

.

Постройте эти множества.

Укажите для каждого из них производное множество.

Являются ли данные множества: а) замкнутыми; б) совершенными?

73. Является ли замкнутой в область определения функции ?

74. Является ли замкнутым в пространстве множество точек с положительными координатами?

75. Выясните, будет ли замкнутым в пространстве множество , состоящее из точек, все координаты которых рациональные числа.

76. На множестве рациональных чисел введем метрику . Будут ли в полученном пространстве замкнутыми следующие множества:

а) ; б) ; в) ;

г) ?

73. Пусть . Выясните, будут ли истинными следующие высказывания:

а) если множество содержит хотя бы одну свою предельную точку, то оно имеет мощность континуума ();

б) если мнлжество замкнуто, то оно имеет мощность континуума;

в) если множество имеет мощность континуума, то оно замкнуто.

73. Докажите, что всякое линейное непустое совершенное множество, содержащее некоторый отрезок, имеет мощность континуума.

74. Выясните, может ли множество предельных точек счетного множества иметь мощность континуума.

75. В пространстве даны множества:

Укажите для каждого из них множество внутренних точек (), граничных () и внешних.

73. Докажите, что точка является внутренней точкой множества значений функции .

74. Какие из множеств задачи 16 являются открытыми?

75. Приведите примеры множеств в пространстве , которые: а) являются открытыми и замкнутыми одновременно; б) не являются ни открытыми, ни замкнутыми.

76. Является ли открытым множеством любой интервал в пространстве: а) ; б) ?

77. Приведите пример: а) объединения бесконечного множества замкнутых множеств, которое замкнутым множеством не является; б) пересечения бесконечного множества открытых множеств, которое открытым не является.

78. Докажите, что любой открытый шар в любом метрическом пространстве - открытое множество.

79. Докажите, что множество функций из пространства , удовлетворяющих на отрезке неравенству , где - некоторые фиксированные числа, открыто.

80. Пусть - множество функций пространства таких, что для . Внутренней, граничной или внешней точкой для является функция: а) ; б) ; в) ?

81. Пусть . Истинны или ложны следующие высказывания:

а) если хотя бы одна точка множества является его внутренней точкой, то оно имеет мощность континуума;

б) если , то - открытое множество;

в) если , то хотя бы одна его точка является внутренней?