Дополнительные задания

1. Будет ли взаимно однозначным отображение отрезков и , осуществляемое функцией

а) ; б) ?

2. Дан прямоугольный треугольник ABC. Выясните, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек гипотенузы AB и а) множеством точек катета BC; б) множеством точек катета AC.

3. Можно ли утверждать, что множество точек окружности , эквивалентно множеству точек оси OX?

4. Можно ли построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок ?

5. Выясните, эквивалентны ли множество точек окружности и множество точек ее диаметра.

6. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок на интервал ?

7. Выясните, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между множеством A нечетных функций и множеством B четных функций, графики которых проходят через начало координат.

8. Будут ли эквивалентны множество C возрастающих функций и множество D убывающих функций?

9. Существует ли функция вида , где коэффициенты - целые числа, обладающая следующим свойством: для любого рационального числа найдется целое число , такое, что ?

10. Докажите «теорему о промежуточном множестве»: если и

A  C, то A  B (и B  C ).

11. Докажите теорему Кантора-Бернштейна: если множество эквивалентно некоторому подмножеству , а множество эквивалентно некоторому подмножеству , то A  B.

12. Выясните, можно ли с помощью теоремы Кантора-Бернштейна установить, что множество точек произвольного интервала и множество точек произвольного отрезка эквивалентны.

§ 2. Счетные множества

Литература: [1], глава I, § 3.

Целью задач §2 является выяснение факта: являются ли данные множества счетными. При этом можно использовать как само определение счетного множества, так и свойства счетных множеств, если нет специального указания на определение.

22. Приведите примеры счетных множеств, опираясь на условия задач § 1.

23. Пользуясь определением, выясните, является ли счетным:

а) множество кубов натуральных чисел;

б) множество целых чисел, делящихся на 7;

в) множество ;

г) множество простых чисел.

22. Выясните, является ли счетным:

1. множество целых отрицательных чисел;

б) множество рациональных чисел интервала ;

в) множество алгебраических чисел отрезка ;

г) множество всех конечных десятичных дробей;

д) множество иррациональных чисел интервала ;

е) множество всех многочленов, коэффициентами которых служат алгебраические числа;

ж) множество рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе.

22. Пользуясь определением, докажите, что множество точек плоскости, обе координаты которых целые числа, является счетным.

23. Докажите, что множество точек плоскости, абсцисса которых – четное число, а ордината – нечетное число, является счетным.

24. Выясните, будет ли счетным множество точек плоскости с рациональными координатами.

25. Докажите, что бесконечное множество попарно непересекающихся интервалов на прямой счетно. А что можно сказать о множестве, представляющем собой произвольный набор попарно непересекающихся интервалов на прямой?

26. Пусть - счетное множество точек на прямой. Можно ли сдвинуть это множество на величину (то есть заменить все точки точками ) так, чтобы получившееся в результате сдвига множество не пересекалось с ?

27. Пусть - счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол так, чтобы множество , получившееся из в результате поворота, не пересекалось с ?

28. Докажите, что если расстояние между любыми двумя точками множества на прямой больше единицы, то множество не более чем счетно.

29. Выясните, будет ли счетным множество точек плоскости, если расстояние между любыми двумя его точками больше, чем (где - данное положительное число).

30. Пусть - счетные множества. Покажите, что при любом натуральном множество счетно.

31. Выясните, будет ли счетным множество чисел вида , где и - натуральные числа.

32. Выясните, будет ли счетным множество:

а) окружностей на плоскости с рациональными длинами радиусов и координатами центра;

б) треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты;

в) параллелограммов на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты

22. На плоскости построено некоторое множество попарно непересекающихся букв (размеры этих букв могут быть различными). Может ли множество этих букв быть несчетным?

23. Докажите, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке , не более чем счетно.

24. Выясните, каким будет множество точек разрыва монотонной функции, определенной на всей числовой прямой.