§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега

Литература: [1], глава II, §§ 1-3.

Задачи этого параграфа позволят студенту глубже усвоить определение понятия интеграла Лебега, его свойства; понять связь между интегралами Римана и Лебега; научиться вычислять интегралы Лебега.

Содержание задач связано с материалом предыдущих параграфов, что дает возможность повторить такие понятия, как мера множества, измеримая функция, канторово множество и др.

220. Покажите, пользуясь определением, что функция , определенная и ограниченная на множестве нулевой меры, интегрируема по Лебегу на и .

221. Покажите, пользуясь определением, что функция , принимающая постоянное значение на измеримом множестве , интегрируема на , и .

222. Пусть функция ограничена и измерима на множестве . Докажите, что .

223. Докажите, что функция Дирихле не интегрируема по Риману на отрезке , но интегрируема по Лебегу на этом множестве и .

224. Выясните, интегрируема ли функция по Лебегу на отрезке . Чему равен интеграл ?

225. Выясните, интегрируема ли функция по Риману на отрезке . Если да, то вычислите .

226. Докажите, что функция при интегрируема на отрезке по Лебегу, и найдите интеграл.

227. Выясните, интегрируема ли по Лебегу функция на отрезке ?

228. Докажите, опираясь на свойства интеграла Лебега, что существует и вычислите его, если:

а) ; б) ;

в) , где – множество алгебраических чисел из , а ;

г) .

220. Докажите, что функция , равная 0 на канторовом множестве и 2 в остальных точках отрезка , интегрируема по Лебегу на этом отрезке. Вычислите интеграл.

221. Докажите, что следующие функции интегрируемы по Лебегу на отрезке и вычислите интегралы:

а) , где – канторово множество, а – его дополнение до всего отрезка ;

б) ;

в) .

13.231. Вычислить интеграл Лебега от функции на отрезке , если в точках – дополнения канторова множества до отрезка , а на смежных интервалах канторова множества графиком функции служат верхние полуокружности, опирающиеся на эти интервалы, как на диаметры.

232. Множество получено из отрезка удалением интервалов . Покажите, что функция интегрируема по Лебегу на множестве .

233. Вычислите , если , где – канторово множество, а – его дополнение до всего отрезка .

Дополнительные задания

1. Покажите, что если где на отрезке , то почти всюду.

2. Почему не может существовать измеримой на и ограниченной функции, удовлетворяющей условию ?

3. Пусть . Покажите, что производная не интегрируема по Риману на .

51