4.4. Основные представления классической электронной теории электропроводности металлов

Свободные электроны ускоряются электрическим полем, которое имеется внутри проводника. Закон Ньютона для движения электрона имеет вид

ma = eE, (4.11)

где m, a, e – соответственно масса, ускорение и заряд электрона. Действительное движение электрона очень сложно, поскольку электроны находятся в тепловом хаотическом движении. Под влиянием внешнего электрического поля электроны получают одинаковое ускорение и приобретают дополнительную скорость в одном и том же направлении. В результате возникает упорядоченное движение носителей, т. е. электрический ток. Упорядоченное движение электронов накладывается на их хаотическое тепловое движение, причем скорость хаотического движения электронов много больше скорости их упорядоченного движения (дрейфа). Оценки при температуре t = 0C и плотности тока j = 110¹¹ А/м² дают следующие значения средней квадратичной скорости v теплового движения и средней скорости u упорядоченного движения электронов:

, .

При своем движении электроны взаимодействуют друг с другом и с атомами кристаллической решетки проводника. При взаимодействии с узлами кристаллической решетки электроны передают им часть своей энергии. Эта энергия приобретена электронами под действием электрического поля, потому что при отсутствии электрического поля электроны и атомы находятся в состоянии теплового равновесия. Допустим, что электрон в соответствии с уравнением (4.11) ускоряется в течение времени , затем сталкивается с атомом и отдает ему всю приобретенную в электрическом поле кинетическую энергию. Затем он снова ускоряется в течение времени  и снова сталкивается с атомом, отдавая ему свою энергию. Таким образом,  – среднее время между столкновениями. Если   – средняя длина свободного пробега между столкновениями, а v – средняя скорость теплового движения электронов, то по определению

 = /v. (4.12)

Путь, проходимый электронами в упорядоченном движении между столкновениями, равен

. (4.13)

Тогда средняя скорость упорядоченного движения

. (4.14)

Согласно выражению (4.2), плотность тока равна

j = enu = , (4.15)

где n – концентрация электронов.

Сравнивая (4.15) с законом Ома j = E, находим следующее выражение для удельной электрической проводимости:

. (4.16)

Классическая теория электропроводности весьма наглядна и дает правильную зависимость плотности тока от напряженности поля. Однако она не приводит к правильным количественным результатам. Главные расхождения теории с экспериментом состоят в следующем:

1) для того, чтобы по формуле (4.16) получить правильные значения удельной электропроводности, надо принять  очень большими ( должна в тысячи раз превосходить межатомные расстояния в металле) Понять возможность таких больших свободных пробегов затруднительно в рамках классической теории.

2) экспериментальная зависимость удельной электропроводности от температуры имеет вид  ~ 1/T, в то время как из формулы (4.16) следует  ~ 1/. 3) по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы следует ожидать от свободных электронов очень большого вклада в теплоемкость проводников, что в эксперименте не наблюдается.

Лишь квантовая теория позволяет последовательно разрешить эти противоречия. Квантовая теория учитывает волновые свойства микрочастиц. Важнейшей особенностью волнового движения является способность волн огибать препятствия благодаря дифракции. В результате при своем движении электроны как бы огибают атомы без столкновений, и длины их свободного пробега могут быть весьма большими. Электроны подчиняются статистике Ферми–Дирака, согласно которой в образовании электронной теплоемкости может принимать участие лишь незначительная часть электронов, имеющих энергии вблизи уровня Ферми. Решение квантово-механической задачи о движении электрона в проводнике приводит зависимости  ~ 1/T, как это и наблюдается в действительности.