Физика 3 семестр / новая папка / Помощь к экзамену / Темы / 09.Теорема Гаусса для диэлектриков

Теорема Гаусса для диэлектриков

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами. Вектор напряженности характеризует результирующее поле. Согласно принципу суперпозиции (1.9), напряженность поля в веществе равна геометрической сумме напряженностей полей свободных и связанных зарядов:

.

Теорема Остроградского–Гаусса (1.26) может быть применена в диэлектрической среде, если в правой части равенства рассматривать алгебраическую сумму всех свободных и связанных зарядов, охватываемых гауссовой поверхностью:

.

Использование полученного соотношения для расчета напряженности поля, создаваемого заданной системой свободных зарядов в диэлектрической среде, осложняется тем, что заранее не известно распределение связанных зарядов в поле. Соответственно, невозможно определить величину связанного заряда, попавшего внутрь гауссовой поверхности. Поскольку молекулы диэлектрика электрически нейтральны, то вклад в дадут только те молекулы, диполи которых “перерезаются” гауссовой поверхностью. Чтобы определить их число, рассмотрим поляризованный диэлектрик, диполи которого ориентированы по направлению (рис.2.6). На рисунке указан фрагмент гауссовой поверхности площадью , внешняя нормаль к нему и “перерезанный” молекулярный диполь с плечом . Ориентация диполей приводит к тому, что часть молекулярных зарядов при повороте диполей выходит за пределы гауссовой поверхности, а часть зарядов входит внутрь нее. Покидают объем, ограниченный гауссовой поверхностью, положительные заряды, а входят в него отрицательные.

Выделим некоторый объем диэлектрика в виде косого цилиндра, образующая которого параллельна . Гауссова поверхность разбивает объем цилиндра на две части. На рис. 2.6 слева от , т.е. внутри гауссовой поверхности, располагается часть выделенного объема диэлектрика с образующей длиной . Общее число положительных зарядов, покинувших этот объем диэлектрика, равно , где п – концентрация молекул диэлектрика. Справа от , т.е. вне гауссовой поверхности, располагается часть выделенного объема диэлектрика с образующей длиной . Общее число отрицательных зарядов, покинувших этот объем диэлектрика и вошедших внутрь гауссовой поверхности, равно . Поскольку отрицательный и положительный заряды молекулярных диполей равны по модулю (), то можно определить модули “вышедших” и “вошедших” зарядов: , . Однако, увеличение отрицательного связанного заряда, находящегося внутри гауссовой поверхности, на эквивалентно уменьшению положительного связанного заряда, находящегося внутри гауссовой поверхности на такую же величину. Таким образом, при поляризации диэлектрика число положительных связанных зарядов, находящихся вблизи участка гауссовой поверхности площадью , уменьшается на . Учтем, что , а . Тогда . В целом из объема, ограниченного гауссовой поверхностью, уходит электрический заряд

.

С учетом полученного соотношения преобразуем выражение (1.26) теоремы Остроградского–Гаусса так:

, ,

.

Согласно (2.11) последнее равенство запишем в виде

. (2.15)

Именно в таком виде теорему Остроградского–Гаусса удобно применять в диэлектрических средах: поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.

При расчете напряженности электростатического поля в диэлектрической среде необходимо сначала определить модуль и направление вектора электрического смещения . Затем, пользуясь соотношением (2.11) необходимо определять величину . Рассмотрим пример 1 из п.1.7 и определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд равномерно распределен по объему диэлектрического шара радиусом R, относительная диэлектрическая проницаемость которого равна .

Повторяя рассуждения п.1.7, получим

Так как , то

Графики полученных зависимостей приведены на рис. 2.7 и 2.8. Отметим, что зависимость имеет разрыв на границе шара (при ), т.к. на поверхности шара находится связанный положительный заряд.

Рассмотрим физический смысл относительной диэлектрической проницаемости . Пусть в вакууме (при отсутствии диэлектрика) совокупность свободных зарядов создает электрическое поле, характеризующееся вектором . В диэлектрике те же свободные заряды создадут поле, для которого . В соответствии с (2.15), . Поэтому

. (2.16)

Поскольку , то относительная диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше, чем напряженность поля в диэлектрике. Таким образом, диэлектрик обладает способностью ослаблять электрическое поле.

Так как , то

Графики полученных зависимостей приведены на рис. 2.7 и 2.8. Отметим, что зависимость имеет разрыв на границе шара (при ), т.к. на поверхности шара находится связанный положительный заряд.

Рассмотрим физический смысл относительной диэлектрической проницаемости . Пусть в вакууме (при отсутствии диэлектрика) совокупность свободных зарядов создает электрическое поле, характеризующееся вектором . В диэлектрике те же свободные заряды создадут поле, для которого . В соответствии с (2.15), . Поэтому

. (2.16)

Поскольку , то относительная диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше, чем напряженность поля в диэлектрике. Таким образом, диэлектрик обладает способностью ослаблять электрическое поле.