Физика 3 семестр / новая папка / Помощь к экзамену / Темы / 06.Теорема Гаусса
.doc1.6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме
Основная теорема электростатики была выведена в 1829 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1830г. применил ее к расчету электростатических полей.
Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис.1.15). Назовем элементарным потоком напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности S величину
, (1.20)
где – вектор площади элемента поверхности, – вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента . Справедливы соотношения: ; . Малый элемент поверхности выбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.
. (1.21)
Из (1.21) видно, что Ф = 0, если во всех точках поверхности S силовые линии поля перпендикулярны векторам , т.е. “скользят” по поверхности. С другой стороны, поток максимален, если поверхность S расположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.
.
Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м2. Такой телесный угол равен 1 стерадиан (обозначается 1 ср). Поскольку площадь поверхности всей сферы равна , то телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий все пространство, равен ср.
Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис.1.17). Выделим на этой поверхности элемент площадью , “вырезаемый” из нее телесным углом с вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент , согласно (1.20), в СИ равен
.
Тогда полный поток вектора напряженности через всю замкнутую поверхность можно найти как
. (1.22)
Кружок на значке интеграла означает, что суммирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды , то можно составить систему уравнений:
где – напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения системы, получим
. (1.23)
Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален сумме этих зарядов.
.
Однако если для всех элементов поверхности углы между векторами и внешними нормалями тупые (при , то для всех элементов поверхности эти углы острые. Следовательно,
, .(1.24)
Поскольку поверхности и видны из точки расположения заряда Q под одним и тем же телесным углом , то, согласно (1.22),
.
Отсюда, с учетом (1.24), получаем
. (1.25)
Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:
. (1.26)
Полученное соотношение выражает теорему Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме, часто называют гауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определяется выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен (см. 1.2). В других системах единиц он может быть другим.
1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса
Применение теоремы Остроградского–Гаусса (1.26) особенно удобно для расчета электростатических полей симметричных систем зарядов. В этом случае можно так выбрать гауссову поверхность, что поток напряженности поля через нее легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении напряженности поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:
1. Исходя из симметрии распределения заданной системы зарядов в пространстве необходимо построить силовые линии поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.
2. Выбрать “удобную” замкнутую гауссову поверхность, отвечающую следующим требованиям:
а) она должна проходить через исследуемую точку;
б) площадь поверхности должна быть известна;
в) модуль напряженности поля должен быть постоянен в точках всей поверхности или хотя бы ее части;
г) угол между и внешней нормалью к поверхности должен быть известен в любой точке поверхности (это обеспечивается выполнением п. 1).
3. Определить поток напряженности поля через выбранную поверхность. Если выполнено условие п.2в, то
,
где – постоянный модуль напряженности поля во всех точках части поверхности .
4. Определить алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S.
5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.