5. Пользуясь формулой, вычисляем накопленные частоты интервалов. В частности,

;

;

;

.

6. Вычисляем частости интервалов. Например,

; ; .

7. Вычисляем накопленные частости интервалов.

8. Данные вычислений заносим в табл. 2

Таблица 2

№ интервала	Границы интервала	Частота	Накопленная частота	Частость	Накопленная частость
1	5  7	3	3	0,06	0,06
2	7  9	9	12	0,18	0,24
3	9  11	17	29	0,34	0,58
4	11  13	10	39	0,20	0,78
5	13  15	7	46	0,14	0,92
6	15  17	4	50	0,08	1

Распределение типа сведенного в табл. 2 представляет собой интервальный вариационный ряд.

Анализ вариационных рядов упрощается при их графическом представлении. Наряду с гистограммой и полигоном частот можно построить полигон накопленных частостей (кумулята)

График получается при соединении точек прямыми отрезками. Координаты точек соответствуют верхним границам интервалов и накопленным частотам. Если по оси ординат откладывать накопленные частости, то полученный график называется полигоном накопленных частостей. Если ряд не интервальный, то по оси откладывают значения измеряемого признака, а по оси  соответствующие накопленные частоты или частости. На рис.2 изображен полигон накопленных частостей для примера 3.

На практике соседние точки чаще всего соединяют кривыми линиями (рис. 3).

1 .3. Статистические характеристики вариационного ряда

Для полноты картины анализа выборки рассматривают статистические характеристики вариационного ряда. С этой целью оценивают следующие качества ряда:

• центральную тенденцию выборки;

• вариацию.

Центральную тенденцию выборки оценивают такими статистическими характеристиками, как

• мода;

• медиана;

• среднее арифметическое значение.

К характеристикам вариации относят:

• размах;

• дисперсию;

• среднее квадратическое отклонение;

• коэффициент вариации;

• ошибку выборочного среднего.

Модой называется значение признака, наиболее часто встречающееся в выборке. Мода обозначается . Если значения выборки сгруппированы в интервальный вариационный ряд, то выбирается модальный интервал с наибольшей частотой.

Медиана  это такое значение признака, при котором одна половина значений признака меньше ее, а другая половина  больше (медиана делит вариационный ряд пополам). Медиана обозначается . Для отыскания медианы выборку ранжируют, то есть значения признака располагают в порядке возрастания или убывания. В ранжированной выборке ранг (порядковый номер в выборке) медианы определяют по формуле: , где  объем выборки.

При нечетном ранг  целое число, и медианой считают следующее значение: . При четном ранг  число не целое, представимое в виде , где  целое. В таком случае медианой считают значение .

Среднее арифметическое неупорядоченной выборки вычисляют по формуле:

.

В случае интервального вариационного ряда формула приобретает вид: , где  частота -го интервала,  среднее арифметическое значение этого интервала.

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями выборки:

.

Дисперсией называется средний квадрат отклонений значений признака от среднего арифметического и вычисляется по формуле:

.

Средним квадратическим отклонением называется положительный квадратный корень из дисперсии:

,

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же единицу измерения, что и варьирующий признак. Оно характеризует степень отклонения значений признака от его среднего арифметического значения в абсолютных единицах.

Для сравнения варьируемости двух или нескольких выборок, имеющих разные единицы измерения, используют коэффициент вариации. Коэффициент вариации  это относительный показатель, равный отношению среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому значению:

.

Принято считать, что если , то варьируемость малая,  средняя,  большая.

Отклонения выборочных коэффициентов от параметров в генеральной совокупности называются ошибками параметров. Эти ошибки возникают в силу того, что выборочная совокупность представляет генеральную совокупность только приближенно. Если взять несколько вариантов выборок объемом из одной и той же генеральной совокупности и вычислить для каждой из них среднее арифметическое, то окажется, что средние арифметические выборок варьируют вокруг среднего арифметического для генеральной совокупности в раз меньше, чем отдельные варианты. На этом основании в качестве стандартной ошибки выборочного среднего принимают величину

.

Чтобы подчеркнуть точность оценки среднего выборочного, его чаще всего записывают в виде: .

Пример 4. В качестве оценки силовой подготовки учащихся 5 класса произведен тест на количество подтягиваний на перекладине.

Данные теста следующие: 9, 9, 10, 11, 8, 7, 10, 7, 9, 11, 7, 8, 9, 8, 9.

Требуется вычислить моду, медиану, среднее арифметическое значение, размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и ошибку выборочного среднего данной выборки.

Решение. Непосредственным подсчетом убеждаемся, что значение встречается в выборке чаще других (5 раз), следовательно, .

Для вычисления медианы производим ранжировку заданной выборки:

7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11

Объем выборки  число нечетное, поэтому ранг медианы вычисляем по формуле:

,

то есть медианой является 8-е значение выборки), .

Среднее арифметическое значение выборки находим, пользуясь формулой:

Крайние значения ряда) определяют минимальное и максимальное значения выборки , . Согласно определению, размах вариации равен:

.

Для удобства вычисления дисперсии составляем таблицу. Пользуясь суммой значений последней колонки и формулой, находим: .

1	9	0,2	0,04
2	9	0,2	0,04
3	10	1,2	1,44
4	11	2,2	4,84
5	8	-0,8	0,64
6	7	-1,8	3,24
7	10	1,2	1,44
8	7	-1,8	3,24
9	9	0,2	0,44
10	11	2,2	4,24
11	7	-1,8	3,24
12	8	-0,8	0,64
13	9	0,2	0,04
14	8	-0,8	0,64
15	9	0,2	0,04
	132		24,4

Вычислим среднее квадратическое отклонение: .

Коэффициент вариации: , откуда делаем вывод  результаты тестирования имеют средний коэффициент вариации.

Ошибку выборочного среднего арифметического находим: .

Наконец, записываем: .