Синусоидальный ток. Основные характеристики.

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону

Максимальное значение Im- амплитуда, - начальная фаза, Т – период, т.е. время за которое совершается одно колебания. (Гц) , где - угловая частота.

Среднее значение , т.е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/П=0,638 от амплитудного.

,

Действующие значение (эффективное или среднеквадратичное).

,

Коэффициент амплитуды Ка – это отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к ее действующему значению

Ка=Im/I=.

Под коэффициентом формы Кф понимают отношение действующего значения к среднему

Кф=I/Iср=

Формула Эйлера.

Е^j=cos+jsin.

ImЕ^j=Imcos+jImsin

Положим, что h=. С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени

, Ime^i(t+)=Ime^j=im.

Im – комплексная амплитуда

Пример: i=8sin(wt+20⁰)A

Im=8e^j20.

Комплекс действующего значения тока

I=Im /=Im/eⁱ

Пример: I=8e^{i 120}/=5,67е^{i 20} A.

Положим, что необходимо сложить два тока i₁ и i₂ с одинаковой частотой.

i=i₁+i₂.

i₁= I₁msin(t+₁); i₂=I₂m sin(t+);

i=Im sin(t+).

Изобразим токи на комплексной плоскости

Составными элементами цепей синусоидального тока является активное сопротивление R, индуктивность L и ее емкость С.

Активное сопротивление R, по которому течет ток i=Imsint. По закону Ома, напряжение U=iR=RImsint=/Um=ImR/=Umsint.

Мгновенная мощность р=ui=UmImsint=

Если через L течет ток i=Imsint, то в катушке наводится Э.Д.С. Самоиндукции.

е_L=-L=-LImcost=Limsin(t-90⁰).

Найдем разность потенциалов между точками a и b. При перемещении от точки b к точке идем навстречу Э.Д.С.

_а=_b – l_L  U_ab=_a - _b=-e_L=L

U=LI_m sin(t +90⁰)=U_msin(t+90⁰)

U_m=LI_m/L=X_L/ - индуктивное сопротивление.

Если приложенное сопротивление к конденсатору напряжение во времени не меняется, то заряд g=CU (i=. Если же напряжение на конденсаторе меняется во времени, то будет меняться и заряд g конденсатора g=CU_msint.

i=(CU_mcost)=CU_m=/Xc/=

U_c=

U_r +U_L +U_c=e

iR+L

В комплексной форме.

I_mR +I_mjL +I_mm

Умножение вектора на –j дает вектор такой же по модулю, но повернутый на угол 90⁰.

I_m(R+jL)=E_m (1)  I_m =

Комплексное сопротивления.

Z=R+jL-

Уравнение, (1) можно записать I_mZ=E_m. Разделим обе части на и перейдем от комплексных амплитуд к комплексам действующих значений I=. Закон Ома для цепи sin тока.

В общем случае Z=R+jX

R – активное сопротивление.

X – реактивное сопротивление.

Под активной мощностью P понимают среднее значение мгновенной мощности p за период Т

P=, i=I_msint u=U_msin(t +), то

P=

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты.

Под реактивной мощностью Q и понимают произведение напряжения U на участке цепи на ток I по этому участку и на sin угла  между напряжением и током I

Q=UIsin

Полная мощность S=UI S²=P² +Q².

Резонансный режим работы двухполюсника

Пусть двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и одну или несколько ёмкостей. Под резонансным режимом работы двухполюсника понимают режим при котором входное сопротивление является часто активным. (I и U совпадают по фазе).

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

Явление резонанса в схеме , образованной двумя параллельными ветвями с разнохарактерными реактивными сопротивлениями называют резонансом токов.

I₁=UY₁=U(g₁-jb₁)

I₂=UY₂=U(g₂-jb₂)

I=I₁+I₂=U(g₁+g₂)-jU(b₁+b₂)

I=I₁+I₂=U(g₁+g₂)-jU(b₁+b₂)

По определению резонансного режима, ток I должен совпадать по фазе с напряжением U. Это будет при условии , что сумма реактивных проводимостей ветвей равна нулю:

b₁+b₂=0

и

Если R₂=0, то резонанс наступит при условии .

Если R₂=0 и R₁ <<L, резонанс наступит при ²LC  1

Пример:

R₁=30 Ом L=40 Ом

R₂=0 =10³ 1/сек

При каком С будет резонанс токов.

X_c=1/x_c=1/10³ 62,5=16 мкФ.

Резонанс в схеме последовательно соединения НЗ резонансом напряжений.

Входное сопротивление схемы будет чисто активным

Z=R+j(-  ₀L=1/₀с

₀ – резонансная частота.

Напряжение на индуктивности при резонансе равно напряжению на емкости

U_L=U_c=₀LI=

Отношение - добротность контура. Добротность показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности (или на ёмкости) превышает напряжение на вхо

де системы в резонансном режиме.

Последовательная RL-цепь

Im

Последовательная RL-цепь

Im

Последовательная RC-цепь

Последовательная RLC- цепь