7. Трендовые модели временных рядов и мнк.

Уровни временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов, в т.ч. различного рода случайностей. Изменение условий развития явления приводит к более или менее интенсивной смене самих факторов, к изменению силы и результативности их воздействия и, в конечном счете, к вариации уровня изучаемого явления во времени.

Динамика рядов экономических показателей в общем случае складывается из четырех компонентов:

1) тенденции, характеризующей долговременную основную закономерность развития исследуемого явления;

2) периодичного компонента, связанного с влиянием сезонности развития изучаемого явления;

3) циклического компонента, характеризующего циклические колебания, свойственные любому воспроизводству;

4) случайного компонента как результата влияния множества случайных факторов.

Тенденция — некоторое общее направление развития. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.

В зависимости от вида функции различают следующие основные формы тренда.

Линейная форма тренда:

y_e = at + b, (11.1)

где у — уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;

b — начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени;

а — среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t; константа тренда).

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.

Параболическая форма тренда:

у = а + bt + ct² , (11.2)

где с — квадратический параметр, равный 1/2 ускорения; константа параболического тренда.

Параболический тренд выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного (регрессивного) развития.

Экспоненциальная форма тренда:

, (11.3)

где k — темп изменения в разах;

e — константа тренда.

Если k > 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При росте по экспоненте абсолютный прирост пропорционален достигнутому уровню. Так росло население Земли в эпоху «демографического взрыва» в XX столетии.

При k< 1 экспоненциальный тренд означает тенденцию постоянно все более замедляющегося роста уровней динамического ряда.

Логарифмическая форма тренда:

y = а + b log(t).   (11.4)

Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения.

Для определения параметров уравнения тренда применяют метод наименьших квадратов (МНК). Применение МНК для определения параметров линейного тренда y_e = at + b дает систему двух линейных уравнений, решение которой выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0. В рядах с нечетным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t — +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3...

Пример 11.4. Реализация молочной продукции в магазинах группы городов по кварталам 1995—1998 гг. характеризуется следующими данными:

Период	Реализовано продукции, тыс. тонн
1995 г .
I квартал	39,9
II квартал	65,5
III квартал	63,9
IV квартал	38,5
1996 г.
I квартал	38,1
II квартал	82,3
III квартал	83,4
IV квартал	45,1
1997 г.
I квартал	45,9
II квартал	101,5
III квартал	103,8
IV квартал	63,8
1998 г.
I квартал	55,7
II квартал	115,5
III квартал	121,7
IV квартал	65,5

Существенной особенностью данного ряда является наличие ярко выраженной тенденции роста. Темп роста (базисный относительно 1995 г.) t = 172,97%.

Во многих случаях, когда в рядах динамики наблюдаются явно выраженные периодические колебания, для описания тренда следует использовать спектральный анализ, когда динамический ряд аппроксимируется функциями Фурье. Расчет спектральной функции осуществляется в следующем порядке:

1) разложение динамики показателя в ряд Фурье;

2) определение значений интенсивности спектрограммы;

3) расчет значений спектральной функции с помощью сглаживания с интервалом усреднения;

4) для анализа связи между отдельными уровнями ряда строят автокорреляционные функции.

Наибольшую точность при прогнозировании нестационарных временных рядов в экономике дают модели, совмещающие процессы выделения тренда и учитывающие при этом процессы автокорреляции. Это так называемые модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего ARIMA (аббревиатура от англ. — AutoRegressive Integrated Moving Average). Среди этого класса моделей доминирует модель Бокса—Дженкинса.



Вопросы для самопроверки:

• Что является составными элементами ряда динамики?

• Допускается ли суммирование уровней моментного ряда?

• Что является важнейшим условием правильности построения ряда динамики?

• Какие причины вызывают несопоставимость уровней ряда динамики?

• Как называется разность между последующим и предыдущим уровнем ряда?

• Как называется отношение последующего уровня ряда к предыдущему?

• Что является в общем случае компонентами ряда динамики?

• Как называется модель, в которой компоненты ряда суммируются?

• Как называется модель, в которой компоненты ряда умножаются?

• Какая тенденция может наблюдаться в социально-экономических рядах?

• Как называется тенденция изменения связи между отдельными уровнями ряда?

• Для чего предназначен метод Фостера—Стюарта?

• Для чего предназначен метод простой скользящей средней?

• Какие уравнения используются для отображения основной тенденции ряда динамики?

• С помощью чего могут быть описаны сезонные колебания в ряду динамики?

• Какое явление составляет теоретическую основу использования прогнозирования на основе рядов динамики?

• Какие методы относятся к простейшим методам экстраполяции?

• В чем состоит значение временных рядов для менеджера?

• Какие виды рядов динамики различают?

• Каким образом оценивается среднее значение уровней ряда динамики?

• Каковы показатели анализа динамики?

• Какие способы определения тенденции в рядах динамики вы знаете?

• Какие методы выявления периодической компоненты в рядах динамики вы знаете?

Список рекомендованной литературы

Основная литература:

1. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа. — М.: Финансы и статистика, 1993. — 288 с.

2. Бухгалтерский анализ. (Рекомендовано институтом банковского дела): Пер. с англ. / Под ред. М.А. Гольцберга, Л.М. Хасан-Бек. — Киев, 1993. — 428 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. — М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Ефимова М.Р. и др. Общая теория статистики: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2002.

5. Патров В.В., Ковалев В.В. Как читать баланс. — М.: Финансы и статистика, 1993. — 256 с.

6. Практикум по теории статистики: Учебное пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 2001.

7. Статистика: Курс лекций / Под ред. Л.П. Харченко, В.Г. Ионина и др. — Новосибирск: НГАЭиУ, 1997.

8. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 2001.

9. Финансовый менеджмент / Под ред. Е.С. Стояновой. — М.: Перспектива, 1993. — 268 с.

10. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. — М.: Дело, 1992. — 320 с.

11. Шеремет А.Д. и др. Методика финансового анализа предприятия. — М.: Дело, 1992. — 320 с.

Дополнительная литература:

1. Аникин А.В. Василий Леонтьев, или экономика на шахматной доске // Природа. — 2000. — № 7. — С. 41—57.

2. Антонов Н.Г., Пессель М.А. Денежное обращение, кредит и банки. — М.: Финстатиниформ, 1995.

3. Бендина Н.В. Общая теория статистики: Конспект лекций. — М.: ПРИОР, 1999.

4. Бункина М.К., Семенов В.А. Экономические модели Василия Леонтьева // Финансовый менеджмент. — М., 2002. — №1. — С. 13—28.

5. Годин А.М. Статистика: Учебник. 2-е изд., перераб. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2003.

6. Гранберг А.Г. Василий Леонтьев в мировой и отечественной экономической науке // Вопросы экономики. — 1999. — № 3. — С. 24—32.

7. Громыко Г.Л. Общая теория статистики. — М.: ИНФРА-М., 1999.

8. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — М., 2002. — 304 с.

9. Леонтьев В.В. Исследование структуры американской экономики. — М., 1958. — 231 с.

10. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. — М., 1997. — 315 с.

11. Леонтьев В.В. Экономические эссе. — М., 1990. — 280 с.

12. Менеджмент. — 2002. — № 1. — С. 13—28.

13. Методологические положения по статистике. — М.: Госкомстат РФ, 1996.

14. Общая теория статистики / Под ред. А.А. Спирина, О.Э. Башиной. — М.: Финансы и статистика, 1999.

15. Переяслова И.Г., Колбачев Е.Б., Переяслова О.Г. Статистика. — Ростов-на-Дону, 2003. (Высшее образование).

16. Рябушкин Б.Т. Основы статистики финансов. — М.: Финстатинформ, 1997.

17. Российский статистический ежегодник: Статистический сборник. — М.: Госкомстат России, 1997.

18. Теслюк И.Е. Статистика финансов: Учебное пособие. — Минск: Высшая школа, 1994.

19. Шимко П.Д., Власов М.П. Статистика. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. (Учебник, учебные пособия).

Глоссарий

Абсолютная величина — именованная величина, которая обладает собственной размерностью.

Аналитическая (факторная) группировка — группировка по одному или нескольким количественным признакам.

Валовая добавленная стоимость (ВДС) — показатель результатов экономической деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, отраслей и экономических секторов, представляющий собой разность между стоимостью выпуска продукции и промежуточным потреблением.

Валовой внутренний продукт (ВВП) — центральный макроэкономический показатель СНС, характеризующий стоимость конечных товаров и услуг, произведенных резидентами данной страны за тот или иной период, в ценах конечного покупателя.

Валовой национальный доход (ВНД) — сумма первичных доходов, включая доход от собственности, полученных резидентами данной страны в связи с их участием в производстве ВВП данной страны и ВВП остальных стран мира; отличается от ВВП на сальдо первичных доходов, полученных резидентами данной страны из сектора «Остальной мир».

Вариация — показатель изменчивости признака по всей совокупности в целом.

Вероятность — числовая величина (число), характеризующая количественно возможность наступления некоторого случайного события, принятия определенного значения.

Веса (соизмерители) — множители, приводящие несоизмеримые величины к некоторому общему соизмеримому виду, позволяющему выполнять сложение полученных таким образом сопоставимых величин.

Временной ряд — набор из двух упорядоченных хронологически во времени последовательностей (моментов или периодов времени, с одной стороны, и соответствующих им значений признака (показателя) — с другой).

Выборочная совокупность — подмножество генеральной совокупности, получаемое посредством случайного отбора.

Выпуск — стоимость товаров и услуг, произведенных отдельными хозяйствующими субъектами, отраслями и секторами экономики, просуммированная по соответствующим отраслям или секторам экономики; дает важный макроэкономический показатель — базу для расчета ВВП.

Генеральная совокупность — статистическая совокупность, подлежащая исследованию.

Группировка — разбиение статистической совокупности на отдельные подмножества (части исходной совокупности), в которых достигается большая однородность по сравнению с исходной совокупностью.

Денежная база — важнейший показатель статистики кредита и денежного обращения, в который включаются денежная база (наличные деньги в обращении), денежные средства в кассах банков, обязательные резервы коммерческих банков в ЦБ и их средства на корреспондентских счетах в ЦБ.

Денежная масса — совокупный объем покупательных и платежных средств, обслуживающих хозяйственный оборот, принадлежащих частным лицам, предприятиям и государству (кроме центрального правительства) и являющихся обязательством всей банковской системы страны; сама денежная масса характеризуется набором денежных агрегатов, выражающих структуру этой денежной массы.

Децильный коэффициент — показатель распределения доходов населения, характеризующий степень превышения минимального среднедушевого денежного дохода 10% наиболее богатой части населения над максимальным среднедушевым денежным доходом 10% наименее обеспеченного населения.

Дискретные признаки — признаки, принимающие целочисленные (дискретные) значения.

Дисперсия — количественная характеристика вариации.

Доверительный интервал — вероятностная интервальная оценка, которая строится из выборочной характеристики и предельной ошибки.

Доход по Хиксу — сумма денежных средств, которые можно потратить, не ухудшая своего материального положения и не принимая на себя никаких обязательств.

Индекс потребительских цен (ИПЦ) — индекс цен, рассчитанный для потребительской корзины.

Индекс структурных сдвигов — показатель, характеризующий влияние структурных изменений в экономике или в отрасли в целом на изменение определяющих экономических показателей.

Индекс-дефлятор — показатель, корректирующий фактор инфляции.

Индекс-дефлятор ВВП — индекс цен, исчисленный для ВВП в целом, который определяется косвенным путем как частное от деления индекса стоимости ВВП на индекс физического объема ВВП.

Индивидуальные экономические индексы — коэффициенты и темпы роста (относительные величины динамики).

Интервальное (непрерывное) распределение случайной величины — интегральная вероятностная характеристика случайной величины, характеризующая вероятность, с которой случайная величина может принять значения в бесконечно малом интервале с центром в данном значении.

Инфляция — систематическое повышение цен, которое во многих случаях обусловлено несоответствием между более высокой величиной спроса (объемом денежной массы и относительно более низким предложением товара.

Конечное потребление (КП) — важный компонент, представляющий собой стоимость конечных товаров и услуг, использованных домашними хозяйствами для удовлетворения текущих потребностей, а также органами государственного управления и некоммерческими, обслуживающими домашние хозяйства в процессе их текущей деятельности.

Коэффициент Джини — показатель концентрации распределения доходов населения, отражающий степень отклонения фактически сложившегося распределения доходов от линии их равномерного распределения.

Массовые события и процессы — большие множества однотипных событий или процессов (в т.ч. людей или предметов), объединенных по одному или некоторым общим свойствам.

Межотраслевой баланс (МОБ) — универсальная модель экономики, тесно связанная с моделью Леонтьева «затраты—выпуск», описывающая связи между отраслями и динамику экономики; инструмент получения прогнозов экономического развития.

Метод аналитического выравнивания тренда — основанный на методе наименьших квадратов способ построения аналитической модели тренда.

Метод наименьших квадратов (МНК) — способ отыскания неизвестных параметров в уравнении тренда.

Метод непрерывной инвентаризации — исчисление восстановительной стоимости основных фондов на ту или иную дату, состоящее в суммировании годовых инвестиций за период, равный среднему сроку службы основных фондов (по группам), с последующим вычитанием выбытия основных фондов за этот же период (сами инвестиции пересчитываются в восстановительные цены с помощью индексов цен).

Метод скользящей средней — эффективный метод сглаживания случайных возмущений, основанный на последовательном вычислении частных средних для небольшого нечетного числа уровней ряда, более мощный, чем метод укрупнения интервалов.

Метод укрупнения интервалов — феноменологический метод выявления тренда.

Национальное богатство (НБ) — сумма чистого собственного капитала всех хозяйствующих субъектов, являющихся резидентами данной страны, на ту или иную дату; проще всего определить его численно как сумму всех активов резидентов данной страны за вычетом их финансовых обязательств.

Оборачиваемость оборотных фондов — показатель, характеризующий скорость движения оборотных фондов в процессе воспроизводства и измеряемый посредством коэффициента оборачиваемости, т.е. числа оборотов, совершаемых оборотными фондами за рассматриваемый период.

Общие экономические индексы — величины, характеризующие изменение сложных явлений или процессов.

Объем совокупности — количество единиц (элементов) совокупности, которое равно сумме всех частот.

Основное уравнение межотраслевого баланса — матричное уравнение, представляющее собой наглядную и компактную запись системы линейных алгебраических уравнений, выражающее соотношение между вектором выпуска отраслей экономики, вектором конечного спроса и матрицей коэффициентов полных затрат.

Основные фонды (основной капитал) — важнейший компонент национального богатства (НБ) в виде активов, являющихся результатом производства и многократно использующихся в процессе производства.

Относительная величина — частное от деления двух абсолютных величин, причем их размерность не обязательно одинакова.

Относительные величины динамики (коэффициенты и темпы роста) — частное от деления абсолютных величин (показателей) одного и того же явления или процесса.

Ошибки репрезентативности — ошибки, обусловленные непосредственно выборочным методом и связанные с ограниченностью объема выборки и отклонениями от случайного отбора.

Ошибки статистического наблюдения — систематические и случайные ошибки наблюдения.

Паритет покупательной способности валют (ППСВ) — статистический коэффициент, характеризующий соотношение цен и покупательных способностей валют; исчисляется на основе обработки большого массива данных о ценах на товары; представители, подбираемые для различных компонентов ВВП.

Первичный доход — доход, получаемый институциональными единицами в результате первичного перераспределения национального дохода (НД) в порядке вознаграждения за прямое участие в производстве товаров и оказании услуг или за предоставление во временное пользование земли, финансовых и других непроизведенных активов.

Платежный баланс — статистическая система, которая систематизирует данные о всех внешнеэкономических операциях и их результатах, происходящих между резидентами данной страны и все остальным миром.

Потребление основного капитала (ПОК) — уменьшение стоимости основного капитала в течение отчетного периода в результате его физического и морального износа и обычных повреждений, не носящих катастрофического характера, которое определяется исходя из текущей восстановительной стоимости основного капитала и его (основного капитала) возраста.

Предельная ошибка — ошибка, определяемая как произведение коэффициента доверия на среднюю ошибку и имеющая смысл наибольшей ошибки, которая с определенной вероятностью может иметь место; более строгое и точное определение, разъясняющее одновременно и смысл коэффициента доверия.

Представители — товары или услуги, являющиеся наиболее типичными, необходимыми и наиболее употребительными в различных группах товаров (услуг).

Прибыль — основной показатель деятельности предприятия, конечный финансовый результат его производственно-хозяйственной деятельности, который в виде балансовой прибыли возникает от реализации продукции, основных средств и другого имущества хозяйствующих субъектов.

Признаки — свойства, по которым события или процессы объединяются в общую совокупность.

Промежуточное потребление (ПП) — стоимость товаров и услуг, полностью израсходованных в процессе производства.

Простая группировка — группировка по одному признаку.

Резиденты — институциональные единицы (предприятия, учреждения, домашние хозяйства и т.п.), имеющие центр экономического интереса на территории данной страны в течение продолжительного (от года и более) периода.

Система национальных счетов (СНС) — единая система макроэкономических показателей, характеризующая национальную экономику и обеспечивающая сопоставимость различных национальных экономик.

Сложная группировка — группировка по нескольким признакам сразу.

Случайная величина — величина, которая принимает определенные значения с некоторыми вероятностями.

Случайное событие — событие, которое может произойти с некоторой вероятностью.

Среднее — обобщающий показатель совокупности.

Средняя арифметическая — наиболее распространенный обобщающий показатель совокупности.

Стандартное отклонение — корень квадратный из дисперсии.

Трансферт — показатель, характеризующий перераспределение доходов и представляющий собой безвозмездную передачу товаров, услуг или активов одной институциональной единицей другой.

Тренд — основная тенденция развития, важный компонент модели временного ряда, характеризующийся плавностью и стабильностью.

Уровни ряда — упорядоченные хронологически во времени значения показателя.

Частости — относительные величины, которые получаются из частот делением частоты на сумму всех частот.

Частоты — для дискретного распределения показывают, сколько единиц совокупности имеют одно и то же значение признака.

Экономические индексы — относительные величины, характеризующие изменение различных показателей.

Экстраполяция — продление установленной закономерности за пределы ее законного действия (границы анализа) в будущее.

Эмпирическое распределение — совокупность интервалов значений, принимаемых случайной величиной, и совокупность частот, показывающих, сколько единиц статистической совокупности попадает в конкретный интервал; эмпирический аналог интервального распределения, получаемый из статистического наблюдения.