4. Компоненты ряда динамики.

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного, как правило случайного, воздействия.

Влияние эволюционного характера — это изменения, определяющие общее направление развития, как бы длительную эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называются основной тенденцией развития, или трендом.

Влияние периодического характера — это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания.

Циклические колебания можно представить в виде синусоиды y = sint.

Циклические колебания в экономических расчетах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры.

Сезонные колебания — это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня. Эти изменения отчетливо наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.

В рядах динамики могут наблюдаться также и случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых (или разнонаправленных) второстепенных факторов.

В общем случае в ряду динамики можно выделить его четыре основные компоненты:

1) основная тенденция (тренд) (Т);

2) циклическая или конъюнктурная (К);

3) сезонная (S);

4) случайные колебания (E).

Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то функция, его описывающая, будет иметь вид:

Y = f (T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи компонентов между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда.

Аддитивная модель ряда динамики имеет вид:

Y = T + K + S + E (10.6)

и характеризуется тем, что циклические и сезонные колебания остаются постоянными.

Мультипликативная модель ряда имеет вид:

Y = T × K × S × E. (10.7)

В этой модели характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.

5. Важнейшие методы выделения основной тенденции (тренда) и периодических процессов (циклов).

В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать:

• основную тенденцию развития (осредненную компоненту динамики);

• закономерность изменения отклонений фактических уровней от тренда;

• автокорреляционные зависимости.

Основная тенденция развития аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В данном случае значения тренда в отдельные моменты времени будут являться математическими ожиданиями (средними значениями) ряда динамики. Часто основную тенденцию развития называют квази-детерминированной (осредненной) составляющей ряда динамики.

Автокорреляционные зависимости представляют собой тенденцию вариации связи между отдельными уровнями ряда динамики (зависимость текущего значения уровней ряда от предыдущих).

Начальным этапом выделения и анализа тренда является проверка гипотезы о существовании тренда.

Существует около десятка критериев проверки наличия тренда. Рассмотрим некоторые из них.

• Проверка существенности разности средних. Ряд динамики разбивается на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании разности средних: .

Поскольку число членов анализируемого ряда, как правило, мало, то для проверки гипотезы воспользуемся теорией малой выборки. За основу проверки берется tα-критерий Стьюдента. При t ≥ tα гипотеза об отсутствии тренда отвергается, и наоборот, при t меньше или равном tα гипотеза (H₀ ) принимается. Здесь t — расчетное значение, найденное для анализируемых данных. tα — табличное значение критерия при уровне вероятности ошибки, равном α.

В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей () определение расчетного значения t производится по формуле:

, (10.8)

где и — средние для первой и второй половин ряда динамики;

n₁ и n₂ — число наблюдений в этих рядах;

σ — среднеквадратическое отклонение разности средних, определяемое по формуле:

. (10.9)

Дисперсии для первой и второй частей ряда рассчитываются по формуле:

. (10.10)

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий осуществляется с помощью F-критерия, основанного на сравнении расчетного отношения с табличным. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

. (10.11)

Если расчетное значение F меньше табличного при заданном уровне значимости, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше, чем табличное значение, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и зависимость для расчета t не пригодна для использования.

При выполнении условия о равенстве дисперсий определяется значение tα и проверяется гипотеза (H₀ ). При этом теоретическое значение tα определяется с числом степеней свободы, равным n₁ + n₂ - 2.

Рассмотренный метод дает положительные результаты для рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда. Поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличия тенденции.

• Метод Фостера—Стюарта. Второй метод проверки наличия тенденции называется методом Фостера—Стюарта, который, помимо определения наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

После установления наличия тенденции в ряду динамики производится ее описание с помощью методов сглаживания. К этим методам относятся следующие.

• Метод усреднения по левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

• Метод простой скользящей средней. Заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем — средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее — начиная с третьего, и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы скользят по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название — скользящая средняя.

• Метод взвешенной скользящей средней. Основное отличие от предыдущего метода состоит в том, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами, т.к. аппроксимация в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному n-го порядка:

, (10.12)

где i — порядковый номер уровня интервала сглаживания.

Для отображения основной тенденции развития социально-экономических явлений применяются полиномы различной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

Полином первой степени

;

Полином второй степени

;

Полином третьей степени

;

Полином n-степени

.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамического ряда. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы второй степени — для отражения ряда с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы третьей степени — с постоянными третьими разностями и т.д.