- •План работы
- •Вопросы к экзамену
- •Метрические шкалы измерения признаков.
- •Абсолютная и относительная частота и вероятность случайного события.
- •Совместные и несовместные случайные события. Вероятность суммы несовместных событий.
- •Зависимые и независимые случайные события. Вероятность произведения независимых случайных событий.
- •Дискретные и непрерывные случайные величины. Квантование.
- •§1. Дискретная случайная величина. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •§2. Непрерывная случайная величина, способы ее задания
- •Гистограмма и полигон распределения случайной величины.
- •Меры центральной тенденции, (мода, медиана, среднее арифметическое).
- •Часть I. Основы измерения и количественного описания данных
- •Виды квантилей.
- •Характеристики рассеивания случайной величины (размах, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации).
- •Асимметрия и эксцесс распределения случайной величины.
- •Свойства нормального распределения случайной величины.
- •Стандартное нормальное распределение. Стандартизация распределений.
- •Генеральная совокупность и выборка.
- •Основные способы формирования выборки.
- •Проверка выборки на наличие аномальных значений.
- •Основные правила стандартизации психодиагностических методик.
- •Шкала z-оценок. (???)
- •Шкалы, производные от шкалы z-оценок.
- •Шкала стенов.
-
Свойства нормального распределения случайной величины.
090309-matmetody.txt
Нормальное распределение.
Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признаков встречаются относительно редко, близкие к среднему арифметическому - относительно часто. Кривая нормального распределения имеет колокообразную форму. Это одномодальное распределение, значения медианы, моды и среднего арифметического которого совпадают между собой, коэффициенты ассиметрии и эксцесса лежат в промежутке от нуля до двух (допустимое), но в идеале равны нулю.
с. 44 (51)
Начиная со второй половины XIX столетия измерительные и вычислительные методы в психологии разрабатываются на основе следующего принципа. Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения. Это и есть закон нормального распределения.
Закон нормального распределения имеет целый ряд очень важных следствий, к которым мы не раз еще будем обращаться. Сейчас же отметим, что если при изучении некоторого свойства мы произвели его измерение на выборке испытуемых и получили отличающееся от нормального распределение, то это значит, что либо выборка нерепрезентативна генеральной совокупности, либо измерения произведены не в шкале равных интервалов.
Каждому психологическому (или шире — биологическому) свойству соответствует свое распределение в генеральной совокупности. Чаще всего оно является нормальным и характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением (о). Только эти два значения отличают друг от друга бесконечное множество нормальных кривых, одинаковой формы, заданной уравнением (5.1). Среднее задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандартное отклонение задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения (рис. 5.3).
Рис 5.3. Семейство нормальных кривых, 1-е распределение отличается от 2-го стандартным отклонением (σ1< σ2), 2-е от 3-го средним арифметическим (M2< M3)
Все многообразие нормальных распределений может быть сведено к одной кривой, если применить ^-преобразование (по формуле 4.8) ко всем возможным измерениям свойств. Тогда каждое свойство будет иметь среднее 0 и стандартное отклонение 1. На рис. 5.4 построен график нормального распределения для М= 0 и а = 1. Это и есть единичное нормальное распределение, которое используется как стандарт — эталон. Рассмотрим его важные свойства.
-
Единицей измерения единичного нормального распределения является стандартное отклонение.
-
Кривая приближается к оси Z по краям асимптотически - никогда не касаясь её.
-
Кривая симметрична относительно М=0. Её асимметрия и эксцесс равны нулю.
-
Кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на расстоянии в одну σ от М.
-
Площадь между кривой и осью Z равна 1.
Последнее свойство объясняет название единичное нормальное распределение и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчивости (от -оо до +оо). Площадь под единичной нормальной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина генеральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина — меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупности значений признака в диапазоне от Z\ до Zi равна площади под кривой, лежащей между соответствующими точками. Отметим еще раз, что любое нормальное распределение может быть сведено к единичному нормальному распределению путем z-преобразования.
Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одними и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стандартного отклонения.
Полезно помнить, что для любого нормального распределения существуют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:
Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генеральной совокупности для любого нормального распределения. Например, зная свойства единичного нормального распределения, мы можем ответить на следующие вопросы. Какая доля генеральной совокупности имеет выраженность свойства от — \о до +1о? Или какова вероятность того, что случайно выбранный представитель генеральной совокупности будет иметь выраженность свойства, на За превышающую среднее значение? В первом случае ответом будет 68,26% всей генеральной совокупности, так как от — 1 до +1 содержится 0,6826 площади единичного нормального распределения. Во втором случае ответ: (100-99,72)/2 = 0,14%.
Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного z (приложение 1). Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования.
Несмотря на исходный постулат, в соответствии с которым свойства в генеральной совокупности имеют нормальное распределение, реальные данные, полученные на выборке, нечасто распределены нормально. Более того, разработано множество методов, позволяющих анализировать данные без всякого предположения о характере их распределения как в выборке, так и в генеральной совокупности. Эти обстоятельства иногда приводят к ложному убеждению, что нормальное распределение — пустая математическая абстракция, не имеющая отношения к психологии. Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, можно указать по крайней мере на три важных аспекта применения нормального распределения:
-
Разработка тестовых шкал.
-
Проверка нормальности выборочного распределения для принятия ре шения о том, в какой шкале измерен признак — в метрической или по рядковой.
-
Статистическая проверка гипотез, в частности — при определении риска принятия неверного решения.