§2. Непрерывная случайная величина, способы ее задания

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, принимающая любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка (например, время работы прибора до его поломки, размер детали и т.п.). Количество значений непрерывной случайной величины бесконечно, невозможно перечислить все ее возможные значения, поэтому необходимы другие способы ее задания.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины может быть задано двумя способами: с помощью функции распределения вероятностей и с помощью плотности распределения вероятностей.

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция, равна в каждой точке х вероятности того, что случайная величина примет значение меньшее, чем

Плотностью распределения вероятностей случайной величины называется производная от функции распределения вероятностей:

Функция распределения вероятностей может быть задана как для дискретной случайной величины, так и для непрерывной, а плотность распределения вероятностей задается только для непрерывной  случайной  величины.  Одним из  важных свойств

плотности  распределения  вероятностей  является  условие  нормировки:

Плотность распределения вероятностей называют также законом распределения непрерывной случайной величины.

7. Гистограмма и полигон распределения случайной величины.

090309-matmetody.txt

Гистограмма - это столбиковоя диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака или разрядный интервал.

Построение полигона распределения частот напоминает построение гистограммы - когда верхние точки столбцов гистограммы соединяются отрезками (получается ломаная линия).

Вместо гистограммы и полигона часто изображают сглаженную кривую распределения частот.

с. 27 (34)

Гистограмма распределения частот — это столбиковая диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака или разрядный интервал (для сгруппированных частот). Высота столбика пропорциональна частоте встречаемости соответствующего значения. На рис. 3.1 изображена гистограмма распределения частот для примера из табл. 3.2.

Гистограмма накопленных частот отличается от гистограммы распределе­ния тем, что высота каждого столбика пропорциональна частоте, накоплен­ной к данному значению (интервалу).

Построение полигона распределения частот напоминает построение гис­тограммы. В гистограмме вершина каждого столбца, соответствующая часто­те встречаемости данного значения (интервала) признака, — отрезок прямой. А для полигона отмечается точка, соответствующая середине этого отрезка. Далее все точки соединяются ломаной линией (рис. 3.3).

Вместо гистограммы или полигона часто изображают сглаженную кривую распределения частот. На рис. 3.4 изображена гистограмма распределения для примера из табл. 3.3 (столбики) и сглаженная кривая того же распределения частот.

8. Меры центральной тенденции, (мода, медиана, среднее арифметическое).

090309-matmetody.txt

Параметры распределения.

Распределение случайной величины характеризуется парамерами распределения, которые объединены в группы характеристик:

1. характеристики положения;

2. характеристики рассеивания;

3. характеристики ассиметрии;

4. характеристики эксцесса.

В характеристики полжения входят - мода, медиана и среднее арифметическое значение. По-другому три эти характеристики называются мерами центральной тенденции.

Мода - это наиболее часто встречающееся распределение признака, обозначается буквой M с индексом o. Его ещё называют модальное значение. Ещё есть модальный интервал - так именуется интервал, куда попадает наибольшее количество значений. Чаще всего модальное значение бывает в модальном интервале.

Распределение величины может быть унимодальным и полимодальным. Унимодальное распределение - если мода в распределении одна. Если больше, то распределение называется полимодальным.

Среднее арифметическое значение - обозначается буквой M с индексом x и считается по формуле (рис. 3 в тетради - не успела зарисовать)

Медиана - такое значение случайной величины, которое делит упорядоченную в порядке возрастания или убывания выборку пополам. Обозначается буквой M с индексом e. При нечётном количестве случайных величин за медиану принимается непосредственно центральное значение. Если число значений случайной величины в выборке чётное, то медиана оказывается между двумя значениями. В этом случае значение медианы рассчитывается как среднее арифметическое между ними. На кривой распределения значение медианы всегда распологается между значениями моды и среднего арифметического.

с. 33 (40)

Мера центральной тенденции {Central Tendency) — это число, характеризую­щее выборку по уровню выраженности измеренного признака.

Существуют три способа определения «центральной тенденции», каждо­му из которых соответствует своя мера: мода, медиана и выборочное среднее.

Мода {Mode) — это такое значение из множества измерений, которое встре­чается наиболее часто. Моде, или модальному интервалу признака, соответ­ствует наибольший подъем (вершина) графика распределения частот. Если график распределения частот имеет одну вершину, то такое распределение называется унимодальным.

Когда два соседних значения встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое значение, мода есть среднее этих двух значений.

Распределение может иметь и не одну моду. Когда все значения встреча­ются одинаково часто, принято считать, что такое распределение не имеет моды.

Бимодальное распределение имеет на графике распределения две вершины, даже если частоты для двух вершин не строго равны. В последнем случае вы­деляют большую и меньшую моду. Во всей группе может быть и несколько локальных вершин распределения частот. Тогда выделяют наибольшую моду и локальные моды.

Еще раз отметим, что мода — это значение признака, а не его частота.

Медиана {Median) — это такое значение признака, которое делит упорядо­ченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений оказывается меньше медианы, а другая — больше. Таким обра­зом, первым шагом при определении медианы является упорядочивание (ран­жирование) всех значений по возрастанию или убыванию. Далее медиана определяется следующим образом:

• если данные содержат нечетное число значений (8, 9, 10, 13, 15), то ме­ диана есть центральное значение, т. е. Md= 10;

• если данные содержат четное число значений (5, 8, 9, 11), то медиана есть точка, лежащая посередине между двумя центральными значения­ ми, т. е. М/=(8+9)/2 = 8,5.

Среднее (Mean) (М_х — выборочное среднее, среднее арифметическое) — определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений.

Если некоторый признак X измерен в группе испытуемых численностью N, мы получим значения: х_и х₂, ..., x_h ..., x_N (где / — текущий номер испытуе­мого, от 1 до N). Тогда среднее значение М_х определяется по формуле:

М_х= — Ух,. (4.1)

Свойства среднего. Если к каждому значению переменной прибавить одно и то же число с, то среднее увеличится на это число (уменьшится на это чис­ло, если оно отрицательное):

1 ^N ^(*,₊O=-^-I>;+c) = M_x+c. ₍₄.2)

А если каждое значение переменной умножить на одно и то же число с, то среднее увеличится в с раз (уменьшится в с раз, если делить на с):

M_(XrC)=^i(x_rc)=M_x-c. (4.3)

Далее мы неоднократно будем обращаться к такой величине, как отклоне­ние от среднего: (*,•— М_х). Из первого, очевидного свойства среднего следует

41