10. Цифровая фильтрация. Z-преобразование. Примеры фильтров. Функции matlab: freqz(b,a), residuez(b,a), filter(b,a,X), impz(b,a,n,f)

Под термином "цифровая фильтрация" обычно понимают локальную цифровую обработку сигнала скользящим окном или аппертурой. При этом полагают, что размер окна много меньше размера выборки обрабатываемого фрагмента сигнала.

y(k) = b_n x(k-n) –a_m y(k-m)

Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра (ЦФ), а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов). Если хотя бы один из коэффициентов a_m или b_n зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим, т.е. с переменными параметрами. Ниже мы будем рассматривать фильтры с постоянными коэффициентами (инвариантные по аргументу).

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временной области, в аналитическую функцию комплексной частоты.

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

где n — целое, z — комплексное число.

где A — амплитуда, а  — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда x[n] определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:

Обратное Z-преобразование

где C — контур, охватывающий область сходимости X(z). Контур должен содержать все вычеты .

Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:

1)[h,w] = freqz(b,a,l)

Возвращает вектор значений комплексной частотной характеристики h и соответствующий вектор круговых частот w для дискретной системы, функция передачи которой задана вещественными или комплексными векторами b и a коэффициентов полиномов числителя и знаменателя, соответственно. Оба возвращаемых вектора h и w имеют длину l. Вектор круговых частот w содержит значения, равномерно распределенные в диапазоне от 0 до p радиан на отсчет. Если входной параметр l не задан или задан в виде пустой матрицы [], по умолчанию рассчитывается 512 частотных точек.

2) residuez(b,a)

Функция residuez преобразует описание дискретной системы, заданное в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи, в описание той же системы, представленное в виде суммы простых дробей (то есть в виде наборов полюсов и вычетов). С помощью той же функции осуществляется и обратное преобразование.

[r,p,k] = residuez(b,a)

Возвращает векторы вычетов r, полюсов p и коэффициентов полинома целой части функции передачи k для дискретной системы, функция передачи которой представлена в виде отношения полиномов b(z)/a(z). Входные векторы b и a должны содержать коэффициенты полиномов b(z) и a(z) в порядке убывания степеней переменной z

3) filter(b,a,x)

Функция y = filter(b, a, x) фильтрует сигнал, заданный в виде одномерного массива x, используя дискретный фильтр, описываемый конечно-разностными уравнениями вида

               y(n) = b(1) * x(n) + b(2) * x(n - 1) + ... + b(nb + 1) * x(n - nb)                                            - a(2) * y(n - 1) - ... - a(na + 1) * y(n - na),

при этом входной параметр b = [b(1) b(2) ... b(nb + 1)], а параметр a = [a(2) ... ... a(na+1)].

Функция [y, Zf] = filter(b, a, x, Zi) позволяет учесть запаздывания входного Zi и выходного Zf сигналов.

4) impz(b,a,n,f)

IMPZ – импульсный отклик цифрового фильтра:

[H,T] = IMPZ(B,A) считает импульсный отклик фильтра B/A, выбирая число выборок, и возвращает отклик в векторе-столбце H и вектор промежутков времени (или образца интервалов) в T (T = [0, 1, 2, ...]).

[H,T] = IMPZ(B,A,N) считает N выборок импульсного отклика.

[H,T] = IMPZ(B,A,N,Fs) вычисляет N выборок и шкалу T так, что образцы разделены на 1/Fs. Fs = 1 по умолчанию.

11. Случайные сигналы. Вероятностные характеристики случайных сигналов. Функции MATLAB: normpdf(x, mu, sigma), normcdf(x, mu, sigma), norminv(y, mu, sigma), normrnd(x, mu, sigma), randn(n).

Случайные сигналы — сигналы, мгновенные значения которых (в отличие от детерминированных сигналов) не известны, а могут быть лишь предсказаны с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть имеют вероятностный вид. Существует 2 основных класса случайных сигналов. Во-первых, это шумы — хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических системах из-за беспорядочного движения носителей заряда. Во-вторых, случайными являются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероятностным моделям.

Характеристики:

- среднее значение (математическое ожидание). Оно характеризует постоянную составляющую сигнала (матлаб – mean())

- средняя мощность. Она характеризует средний уровень сигнала

- дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей сигнала (var())

- среднеквадратическое отклонение (СКО)

- функция распределения, которая определяется как интегральная вероятность того, что значение xi(tj) в j-й момент времени будут ниже некоторых значений X

- одномерная плотность вероятности, называемая дифференциальным законом распределения

- корреляционная функция. Она характеризует стохастическую (случайную) связь между двумя мгновенными значениями случайного сигнала, разделенного заданным интервалом времени τ

- взаимная корреляционная функция. Она характеризует стохастическую связь мгновенными значениями случайных сигналов x(t) и y(t), разделенными интервалом времени τ

1) f = normpdf(X,MU,SIGMA) служит для расчета значений функции плотности вероятности нормального распределения для значений случайной величины Х, математического ожидания MU и среднего квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или матриц X, MU, SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения SIGMA должно быть положительным.

2) normcdf(x, mu, sigma) служит для расчета значений функции распределения вероятностей нормального закона для значений случайной величины Х, математического ожидания MU и среднего квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или матриц X, MU, SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения SIGMA должно быть положительным.

3) norminv(y, mu, sigma) служит для расчета значений квантили (кванти́ль в математической статистике — такое число, что заданная случайная величина не превышает его лишь с фиксированной вероятностью) нормального закона для значений вероятности Р, математического ожидания MU и среднего квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или матриц Р, MU, SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения SIGMA должно быть положительным. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

4) normrnd(x, mu, sigma)

R = normrnd(MU,SIGMA) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по нормальному закону для каждой пары параметров MU (математического ожидания) и SIGMA (среднего квадратического отклонения). Размерность векторов или матриц параметров MU и SIGMA должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность матрицы R равна размерности входных параметров.

R = normrnd(MU,SIGMA,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по нормальному закону для параметров MU и SIGMA, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

5) randn(n) формирует массив размера n х n, элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.