3. Тригонометрические ряды Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

(1)

где

( т.е. )

или используя комплексную запись, ряд:

, где

.

4. Интегральное преобразование Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. Коэффициенты перед интегралом в разных источниках могут разниться.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

5. Дискретное преобразование Фурье, реализация в matlab. Функции fft(X) и ifft(X). Частота Найквиста.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Обозначения:

• N — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

• — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

• — N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

• — обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

• arg(X_k) — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

• k — частота k-го сигнала, равная , где T — период времени, в течение которого брались входные данные.

Функция Y = fft(X) вычисляет для массива данных X дискретное преобразование Фурье, используя FFT-алгоритм быстрого Фурье-преобразования. Если массив X двумерный, вычисляется дискретное преобразование каждого столбца.

Функция Y = fft(X, n) вычисляет n-точечное дискретное преобразование Фурье. Если length(X) < n, то недостающие строки массива X заполняются нулями; если length(X) > n, то лишние строки удаляются.

Функция X = ifft(Y) вычисляет обратное преобразование Фурье для массива Y.

Функция X = ifft(Y, n) вычисляет n-точечное обратное преобразование Фурье для массива Y.

Частота Найквиста — в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации (гармонический сигнал может быть корректно представлен гармоническими отсчетами, если его частота не превышает частоты Найквиста).

6. Теорема в.А.Котельникова (теорема отсчетов).

Теорема Котельникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой строго большей удвоенной максимальной частоты спектра :

7. Интегральное преобразование Лапласа. Преобразования единицы, экспоненты, синуса и косинуса. Изображения производных первого и второго порядков. Теорема о свертке (без доказательства).

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). В матлабе – laplace().

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция комплексной переменной s = σ + iω^[1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения x < 0.

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Теорема о свёртке

Свертка – это операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой.:

 

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная n-го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

Основные функции (оригинал – изображение):

1 – 1/s

e^lt – 1/s-l

sin wt – 1/s²+w

cos wt – w/s²+w