8. Линейные системы. Передаточная функция.

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству: если сигнал на входе системы (воздействие) —

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

тогда сигнал на выходе системы (реакция) —

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

для любых постоянных A и B, где y_i(t) — выход системы как реакция на входной сигнал (воздействие) x_i(t).

• Стационарность — означает, что при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Передаточная функция представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Линейные стационарные системы

Пусть  — входной сигнал линейной стационарной системы, а  — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и  — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

,

.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть  — входной дискретный сигнал такой системы, а  — её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и  — z-преобразования для сигналов и соответственно:

,

.

9. Ачх и фчх. Фильтры. Функции matlab: freqs(b,a), tf2zp(b,a), zp2tf(z,p,k), residue(b,a)

АЧХ в теории линейных стационарных систем означает зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает, во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот. На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Обычно для частоты используется логарифмический масштаб, так как исследуемый диапазон частот может изменяться в достаточно широких пределах (от единиц до миллионов Гц или рад/с). В случае когда логарифмический масштаб используется и на оси ординат, АЧХ превращается в логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ).

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) — частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.

Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи.

1) freqs(b,a) Функция freqs рассчитывает комплексную частотную характеристику H(jw ) аналоговой системы, заданной своей функцией передачи в s-области (преобразованием Лапласа):

Исходными данными для расчета служат векторы b и a коэффициентов числителя и знаменателя функции передачи.

[h,w] = freqs(b,a)

Автоматически выбирает для расчета частотной характеристики h набор из 200 частотных точек, возвращая их значения во втором выходном параметре w.

Функция freqs, вызванная без указания выходных параметров, строит в текущем графическом окне графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик.

Функция freqs работает только с вещественными системами и положительными частотами.

2) tf2zp(b,a)

Функция tf2zp преобразует функцию передачи заданной системы в эквивалентное представление в виде наборов нулей, полюсов и коэффициента усиления (то есть в виде факторизованной функции передачи). Функция tf2zp предназначена для преобразования функций передачи, полиномы которых записаны относительно положительных степеней переменной (s² + s + 1), что обычно имеет место при описании систем непрерывного времени. [z,p,k] = tf2zp(b,a) Возвращает матрицу нулей z, вектор полюсов p и вектор коэффициентов усиления k, соответствующие системе, заданной входными параметрами b и a:

• Коэффициенты полиномов числителей функций передачи, соответствующих различным выходам системы, представлены в виде строк входной матрицы b.

• Коэффициенты полинома знаменателя функции передачи представлены в виде вектора a.

3) zp2tf(z,p,k) Функция zp2tf преобразует функцию передачи системы, представленную в факторизованной форме (то есть в виде наборов нулей, полюсов и коэффициента усиления), в эквивалентное представление в виде коэффициентов числителя и знаменателя функции передачи. [b,a] = zp2tf(z,p,k) Находит функцию передачи системы в дробно-рациональной форме, по заданной факторизованной форме функции передачи. Вектор-столбец p задает полюсы функции передачи, а матрица z - ее нули, при этом столбцы матрицы соответствуют отдельным выходам системы. Коэффициенты усиления для всех выходов системы задаются с помощью вектора k. Нули и полюсы должны быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары. Коэффициенты полинома знаменателя функции передачи содержатся в возвращаемом векторе-строке a, а коэффициенты полиномов числителей для отдельных выходов системы - в возвращаемой матрице b, при этом отдельные строки матрицы соответствуют различным выходам системы. Число строк матрицы b равно числу столбцов входной матрицы z.

4) [r, p, k] = residue(b, a)

Функция p = [r, p, k] = residue(b, a) вычисляет вычеты, полюса и многочлен целой части отношения двух полиномов b(s) и a(s):

входные переменные - векторы b и a определяют коэффициенты полиномов числителя и знаменателя по убывающим степеням s;

выходные переменные - вектор-столбец r вычетов, вектор-столбец p полюсов и вектор-строка k целой части дробно-рациональной функции;

количество полюсов определяется по формуле:

n = length(a) - 1 = length(r) = length(p);

вектор коэффициентов многочлена прямой передачи будет пустым, если length(b) < length(a); в противном случае length(k) = length(b) -length(a) + 1;