Задачник / Глава 10 (254-297)

Глава 10 Статически неопределимые стержневые системы

10.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

10.1.1 Общие сведения о расчете статически неопределимых стержневых систем

Система статически неопределима, если число неизвестных усилий превышает число независимых уравнений равновесия. Степень статической неопределимости равна разности между этими числами.

Статически неопределимые системы обладают рядом особенностей, отличающих их от статически определимых. Так, усилия в элементах статически неопределимых конструкций зависят от соотношения жесткостей, т. е. и от модулей упругости материала, и от соотношения площадей составляющих стержней, а также от изменения температуры, от точности изготовления отдельных элементов. В статически неопределимых системах есть возможность искусственно регулировать усилия.

Один из методов расчета статически неопределимых систем – метод сил. Этот расчет целесообразно производить в канонической форме, соблюдая такую последовательность.

1.Выполнить кинематическое исследование системы и определить степень статической неопределимости системы n.

2.Выбрать основную систему, которая должна быть статически определима и геометрически неизменяема. Основная система получается из

заданной путем отбрасывания n «лишних» связей. Действие отброшенных связей заменяется реакциями в них, которые обозначают Х1, Х2, …, Хn.

3. В направлении этих усилий в основной системе возможны перемещения, которые необходимо привести в соответствие с условиями закрепления в заданной системе.

Особенностью расчета таких систем является необходимость составления условий совместности деформаций в количестве, равном степени статической неопределимости, и выражения в этих зависимостях деформаций и перемещений через усилия. Тогда общее число уравнений статики (равновесия) и совместности деформаций становится равным числу неизвестных, что и позволяет найти их, решая эти уравнения.

Система канонических уравнений (уравнений совместности деформаций) для n раз статически неопределимой конструкции имеет вид:

254

где Xi (i = 1, 2, …, n) – «лишние» неизвестные;

ij – перемещение в основной системе, соответствующее

i-й неизвестной (в месте ее приложения и в направлении ее действия), вызванное единичным значением j-й неизвестной;

iF – перемещение в основной системе, соответствую-

щее i-й неизвестной, вызванное действием внешней нагрузки.

Строчка с к – любая строка системы уравнений при 1 к n . Коэффициенты ij и iF вычисляются по формуле Мора, если воз-

можно – с использованием приема Верещагина.

4. Решением системы канонических уравнений находятся «лишние» неизвестные Xi. Оставшиеся неизвестные усилия могут быть найдены из уравнений статики.

Применительно к неразрезным балкам канонические уравнения метода сил (при выборе основной системы с шарнирами над промежуточными опорами и «лишними» неизвестными – моментами над опорами) можно представить в виде уравнений трех моментов.

Каждое из n уравнений содержит не более трех моментов и включает сведения лишь о двух пролетах, прилегающих к к-й промежуточной опоре и выражает равенство нулю взаимного угла поворота сечений слева и справа от к-й опоры. Уравнение, составленное для некоторой промежуточной к-й опоры, имеет вид:

где Mк 1, Mк , Mк 1 – неизвестные опорные моменты на опорах к–1, к,

к+1, 1 к n;

lк , lк 1 – пролеты, прилегающие к к-й опоре;

255

к , к 1 – площади эпюр моментов от внешней нагрузки в

пролетах, прилегающих к к-й опоре основной системы;

aк , aк 1 – расстояния до центров тяжести площадей к ик 1, измеренные соответственно от опор к–1 и

к+1.

10.1.2 Статически неопределимые шарнирно-стержневые системы

256

Составляем уравнения равновесия:

1)ML 0 ; N2c N1 b c sin F a b c 0;

2)Y 0 ; VL N2 N1 sin F 0 ;

3)Z 0 ; HL N1 cos 0.

Для решения систему надо дополнить еще одним уравнением, называемым уравнением совместности деформаций, которое получим из условия, что система деформируема и подчиняется закону Гука.

Под действием силы F балка LD повернется относительно точки L и займет положение LD1. Стержень 2 при этом удлинится на l2, равное вер-

Это и есть уравнение совместности деформаций для заданной системы, выраженное через усилия в стержнях 1 и 2. Решаем систему уравнений

1) – 4):

257

Второй стержень оказался существенно недогруженным. Исследуем возможность достижения равнопрочности стержней в заданной системе. Для этого напряжения в стержнях 1 и 2 должны оказаться равными допус-

258

Отметим, что равнопрочность системы, во-первых, не зависит от соотношения площадей сечений стержней A1/A2 и, во-вторых, может быть достигнута лишь в отдельных частных случаях в зависимости от соотношения модулей упругости и конфигурации системы, в данном случае от угла α, который должен быть равным 37 36 .

Решим пример 10.1.1 также методом сил, но в канонической форме. Как было установлено, заданная система один раз статически неопределима.

Выбираем основную систему, которая должна быть статически определимой и кинематически неизменяемой (рис. 10.2, б). В качестве «лишней» неизвестной принимаем усилие в стержне 1, обозначив его X1. Рассекаем этот стержень и прикладываем силу X1 – усилие в первом стержне.

Рис. 10.2

259

Составляем каноническое уравнение:

Первое слагаемое в уравнении представляет собой взаимное перемещение разрезанных концов стержня 1 под действием только одного, пока неизвестного, усилия X1, оно записано как произведение перемещения

11 в разрезе стержня 1 от безразмерной силы X1 =1 и величины неизвестной силы X1. Второе слагаемое в уравнении – это перемещение концов разрезанного стержня только от внешней силы F. Сумма этих перемещений равна нулю, т. е. каноническое уравнение – это и есть уравнение совместности деформаций для выбранной основной системы, которая должна быть эквивалентной заданной статически неопределимой системе.

260

Результаты расчетов по методу сил в канонической и не канонической формах совпали.

Пример 10.1.2. Определить температурные напряжения в составном стержне (рис. 10.3), если его конечная температура составила t2 40 С. При температуре t1 20 С между составным стержнем и нижней плитой наблюдался зазор = а∙10–4. При расчете принять температурный коэф-

Рис. 10.3

Решение. Используем метод сил.

Заданная система при условии, что в результате нагрева стержень заклинивает между опорами, один раз статически неопределима. Отбросив нижнюю опору, получим основную систему (рис. 10.3, б), приложив усилие Х1 со стороны отброшенной связи, получим эквивалентную систему

(рис. 10.3, в).

Составляем каноническое уравнение, отрицающее возможность деформации заданного стержня под действием температурных изменений и реакции Х1 более зазора :

11X1 1F 0.

261

Откуда

Перемещение при решении по методу сил в канонической форме принимается положительным, если оно совпадает по направлению с на-

правлением X1 1, и отрицательным, если они противоположны. Определяем перемещение нижнего торца составного стержня под дей-

ствием единичной силы X1 1 (рис. 10.3, д). Так как перемещение 11 совпадает по направлению с единичной силой, то оно положительно по знаку:

Определяем перемещение нижнего торца составного стержня по отношению к опоре под влиянием внешних факторов – зазора и температуры (рис. 10.3, г). В результате нагрева составного стержня он удлиняется на

величину t clc мlм t , а за счет зазора стержень укорочен на . Учитывая направление X1 при определении 1F, первое перемещение надо

262

10.1.3 Статически неопределимые системы, работающие на кручение

Пример 10.1.3. Построить эпюру крутящих моментов для бруса кругового сечения, показанного на рисунке 10.4, а. Модуль упругости при

сдвиге G 8 104 МПа.

Решение. Заданная система один раз статически неопределима, так как для определения двух неизвестных реактивных моментов mкА, mкВ можно составить только одно не являющееся тождеством уравнение статики M z 0 . Воспользуемся методом сил. За «лишнюю» связь примем

правое жесткое закрепление в сечении В. Неизвестной силой X1 будет реактивный момент mкВ. Таким образом, основная система (рис. 10.4, б) представляет собой статически определимый консольный стержень. Урав-

нение совместности деформаций в общем виде

1 0

выражает условие, накладываемое «лишней» связью: равенство нулю угла поворота сечения В от одновременного действия активных и реактивных

крутящих моментов (рис. 10.4, в). Применим принцип суперпозиции:

1 11 1F 0.

X1 возрастает пропорционально

11 11 X1 .

Здесь 11 – угол закручивания сечения В, вызванный единичным

моментом X1 1;

1F – угол закручивания, зависящий только от внешних воз-

действий, от моментов mк1, mк2.

Уравнение совместности деформаций в канонической форме имеет вид:

11X1 1F 0.

Для определения перемещений воспользуемся формулой Мора: