Задачник / Глава 05 (100-111)

Построить эпюру Мк.

Решение. В рассматриваемом примере опорные реакции равны нулю. Стержень имеет три участка (рис. 5.3, а).

Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях стержня и строим эпюру Мк.

I участок: 0 z1 2 м; Мк1= mк1= 40 кНм.

II участок: 2 м z2 4м; Мк2= mк1 – mк2 = 40 – 60 = –20 кНм.

III участок: при построении эпюры Мк3 рассмотрим равновесие правой части стержня 0 z3 1 м; Мк3 = – mк4 = – 30 кНм.

Рис. 5.3

Проверка. В сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточенные крутящие моменты, в эпюре Мк должны быть скачки, равные по величине приложенным моментам. В данной задаче это условие выполняется.

5.1.2 Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

Втех случаях, когда задана мощность, передаваемая на вал, N, кВт,

ичисло оборотов вала n в минуту, крутящий момент в сечении Мк, кНм, найдем по зависимости

Мк = 9,55 Nn .

101

где – расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется к ; G – модуль упругости при сдвиге;

мк – площадь эпюры Мк на участке, на котором определяется угол

закручивания;– допустимый угол закручивания, в радианах на заданной длине

вала l ;

I p – полярный момент инерции сечения вала,

для вала сплошного кругового поперечного сечения

где D – наружный, d1 – внутренний диаметры полого вала; d, r – диаметр и радиус сплошного вала.

Wp – полярный момент сопротивления сечения вала,

102

Рис. 5.4

Воспользовавшись методом сечений, находим крутящие моменты по участкам.

I участок: 0 z1 a.

103

Из условия равновесия отсеченной правой части находим:

Мк1 = mк3 + mк2 – mк1 = 300 + 200 – 100 = 400 кНм.

II участок: a z2 (a b).

Из суммы моментов относительно оси z для отсеченной части стержня правее сечения В-В

Мк2 = mк3 + mк2 = 300 + 200 = 500 кНм.

III участок: (a b) z3 (a 2b).

Мк3 = mк3 = 300 кНм.

Эпюра крутящих моментов представлена на рисунке 5.4, б. Определяем диаметр сечения стального стержня из условия прочно-

сти:

где рад – допускаемый угол закручивания на заданной длине вала l , выраженный в радианах; с допускаемым углом закручивания в градусах

связан зависимостью рад .

180

Следовательно, сечение вала лимитирует его жесткость. Диаметр сечения вала с учетом его округления принимаем равным 37 см.

Построение эпюры углов закручивания вала (рис.5.4, в) производим, воспользовавшись формулой угла закручивания

где M кi – крутящий момент на соответствующем участке эпюры; G – модуль упругости при сдвиге, G = 8 10 4 МПа.

104

Как видно из расчетов, на каждом участке функции, определяющие углы поворота сечений, линейны. Из эпюры углов закручивания (рис. 5.4, в) видно, что интенсивность изменения угла закручивания максимальна на II участке. Именно на этом участке эпюра крутящих моментов имеет максимальные ординаты, равные 500 кНм. Следовательно, наи-

больший относительный угол закручивания max составит

Пример 5.1.3. Для полого стального стержня кругового поперечного сечения (рис. 5.5) подобрать по условиям прочности и жесткости его наружный диаметр, приняв отношение внутреннего диаметра к наружному

Dd 0,6. Определить величину экономии материала при использова-

нии полого стержня по сравнению со сплошным.

105

рад

Принимаем диаметр D стержня исходя из условия его жесткости равным 38 см.

Сравнивая подобранные сечения сплошного вала (см. пример 5.1.2) D1 = 36,7 см и полого, определим экономию материала в процентах:

106

36,72 382 (1 0,62 )100 31,4 %. 36,72

Ответ: D = 38 см.

Пример 5.1.4. Для стального стержня с круговым поперечным сечением диаметром 100 мм (рис. 5.6) определить величину допускаемых крутящих моментов m1 , m 2 , m3 из условия прочности и жесткости,

приняв соотношение между моментами m1 : m2 : m3 5 : 3 :1;0,2 град/м; 100 МПа.

Исходя из заданного соотношения внешних крутящих моментов, вы-

разим m 2 и m1 через m3 :m2 3m3 и m1 5m3 . Тогда эпюра крутящих моментов принимает вид, представленный на рисунке 5.6. Наиболее загружен участок вала l1.

107

Определим значение допускаемого внутреннего крутящего момента: из условия прочности

момент на первом, наиболее нагруженном участке наименьшим из двух найденных, т. е. M к = 2,74 кНм.

Следовательно, 3m3 M к . Тогда

m3 Mк 2,74 0,914 кНм; 3 3

m2 3 m3 2,74 кНм;

m1 5 m3 0,914 5 4,57 кНм.

5.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Кручение валов кругового сечения»

Задача 5.2.1. Подбор сечения и определение деформаций вала.

В соответствии с заданной схемой (1–24, рис. 5.7) и строкой в таблице 5.1 для загруженного крутящими моментами вала требуется:

1)из условия равновесия найти m0 ;

2)построить эпюру крутящих моментов;

3)подобрать диаметр сплошного вала кругового сечения, используя условия прочности и жесткости;

4)подобрать диаметр полого вала по условиям прочности и жесткости,

приняв отношение внутреннего диаметра к внешнему ( d / D ) равным 0,8;

5)вычислить в процентах величину экономии материала для полого вала;

6)построить эпюру углов закручивания, производя отсчет углов от правого или левого конца вала;

7)найти относительный угол закручивания.

108