Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Задачник / Глава 06 (112-155)

.pdf
Скачиваний:
187
Добавлен:
20.12.2017
Размер:
1.25 Mб
Скачать

Глава 6 Плоский изгиб стержней

6.1 Теоретическая и методическая информация.

Примеры

6.1.1 Внутренние усилия при плоском поперечном изгибе стержней с прямолинейной осью

Для определения внутренних усилий при плоском изгибе применяется метод сечений. Любая отсеченная часть балки должна находиться в равновесии под действием внешних сил и внутренних усилий в сечении.

При плоском изгибе в поперечных сечениях балок возникают два внутренних усилия – изгибающий момент Мx и поперечная сила Qy .

Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих с одной стороны от сечения, относительно нейтральной оси x, проходящей через центр тяжести проведенного сечения.

Поперечная сила равна алгебраической сумме проекций на нормаль к продольной оси стержня всех внешних сил, приложенных с одной стороны от сечения.

Правило знаков для внутренних усилий М и Q в соответствии с ранее сформулированным правилом (п. 1.1.7), применительно к плоскому изгибу балок для двух вариантов координатных осей показано на рисунке 6.1.

z z

M>0

 

 

Q>0

 

 

M>0

 

 

Q>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

Рис. 6.1

В процессе построения эпюр М и Q, а также при проверке конечных результатов рекомендуется пользоваться следующими правилами.

1. Ординаты эпюры М откладываются перпендикулярно оси эпюры со стороны растянутых волокон балки. Положительные значения М и Q откладываются в соответствии с положительным направлением оси у снизу от оси, отрицательные – сверху.

2. На эпюре М должны наблюдаться скачки в сечениях балки, где приложены внешние сосредоточенные моменты. Величина скачка должна быть равна моменту.

112

3.В эпюре Q скачки должны наблюдаться в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (активные и реактивные). Величина скачка равна сосредоточенной силе.

4.На участках без распределенной нагрузки эпюра М очерчена на-

клонной прямой при Q 0 и горизонтальной прямой (в частности может быть и с нулевой ординатой) при Q=0; эпюра Q на участках без распределенной нагрузки очерчена горизонтальной прямой (в частности может быть с нулевой ординатой).

5.В пределах участка балки, где действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра М имеет параболическое очертание, эпюра Q – наклонная прямая.

6.В тех сечениях балки, где поперечная сила переходит через нуль, изгибающий момент имеет экстремальное значение (max или min), т. к.

Q dM .

 

dz

 

7. Эпюра М имеет переломы в местах приложения сосредоточенных

сил. Эпюра Q имеет переломы в местах изменения интенсивности распре-

деленной нагрузки.

 

Пример 6.1.1. Схема балки представлена на

рисунке 6.2.

Дано: F = 20 кН; q = 10 кН/м; m = 30 кНм; l = 4 м;

а = 1 м.

Построить эпюры М и Q .

 

 

m

F

 

q

 

 

 

 

A

 

 

B

 

 

z

 

 

 

y

l/2

 

а

 

 

l

Рис. 6.2

Решение. 1. Определение опорных реакций (рис. 6.3).

1) М B 0 ;

VAl

ql 2

m Fa 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

Fa

m

 

ql

; V

 

 

 

20 1

 

 

30

 

10 4

7,5 кН;

A

 

 

A

 

 

 

 

 

l

l

2

 

 

 

 

 

4

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) М А 0 ;

RBl

ql 2

 

m F(a l) 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

113

R

ql

m

 

F (a l)

;

R

10 4

 

30

 

20 5

52,5 кН;

 

 

 

 

 

B

2

l

 

l

 

 

B

2

4

4

 

 

 

 

 

 

 

3) Z 0;

H A 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка: Y 0;

VA VB ql F 0;

 

 

 

7,5 52,5 10 4 20 0;

 

0 0.

 

 

 

 

 

2. Построение эпюр Q и M.

В пределах длины балки три участка: I – от VA до m , II – от m

до RB , III – от RB

до F. Проводим сечение в границах первого участка.

I участок:

0 z1 l / 2 .

 

 

 

 

Q1 VA qz1 7,5 10z1;

 

 

M

 

V

z

qz12

7,5z 5z2 .

 

1

 

 

 

 

A 1

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция Q1 – линейная, поэтому для построения ее эпюры достаточно определить два значения поперечной силы в начале и конце участка. Функция М1 – нелинейная (параболическая). Для построения эпюры М1 в таком случае необходимо располагать по крайней мере тремя значениями изгибающего момента. Два из них берутся на границах участка, третье – в том сечении, где функция М1 достигает экстремума. Если в пределах участка нет экстремума, то определяется промежуточное значение момента в

середине участка. Известна зависимость dMdz Q , следовательно, там, где

поперечная сила становится равной нулю, момент достигает экстремума (по правилам отыскания экстремума функции). Таким образом, о наличии экстремума на эпюре моментов в пределах данного участка можно судить

по признаку – переходит ли эпюра Q через ноль.

Если поперечная сила меняет знак с плюса на минус, то имеет место максимум момента (как в данном случае), а если поперечная сила переходит через ноль, меняя знак с минуса на плюс, то момент в точке экстремума достигает минимума.

Итак, приравняем нулю Q1 или производную функции М1 и найдем z1* , соответствующее M max :

Q

dM1

0; V

A

qz* 0;

z*

VA

 

7,5

 

0,75 м.

 

 

 

1

dz1

 

1

1

q 10

 

 

 

 

 

 

 

Подсчеты Q и М для построения эпюр сведены в таблицу 6.1.

II участок: l / 2 z2 l . Рассматриваем часть балки слева от сече-

ния:

114

Q2

 

VA qz2 7,5 10z2 ;

 

 

 

M

 

V

z

 

 

qz22

m 7,5z

 

5z2

30 .

2

2

 

2

 

A

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция Q2 – линейная. Для построения эпюры Q2 достаточно определить два значения функции. Функция М2 – нелинейная. Для построения ее эпюры надо знать не менее трех значений функции М2. Подсчеты приведены в таблице 6.1. Так как в пределах второго участка Q2 не переходит через ноль, то функция М2 не имеет экстремума в пределах участка

иподсчитывается М2 при z2= 3 м.

III участок: l z3 l a . Рассматриваем равновесие правой отсе-

ченной части:

Q3 F 20 кН;

M3 F(l a z3 ) 20(5 z3 ).

По данным таблицы 6.1 построены эпюры Q и М (рис. 6.3).

 

 

 

Т а б л и ц а 6 . 1

 

 

 

 

 

Участок

z, м

Q, кН

 

М, кНм

 

 

 

 

 

 

0

7,5

 

0

 

 

 

 

 

I

0,75

0

 

2,81

 

 

 

 

 

 

2

–12,5

 

–5

 

 

 

 

 

 

2

–12,5

 

25

 

 

 

 

 

II

3

–22,5

 

7,5

 

 

 

 

 

 

4

–32,5

 

–20

 

 

 

 

 

III

4

20

 

–20

 

 

 

 

5

20

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. Для консольных балок с одним защемленным и другим свободным концами определение опорных реакций не является обязательным. При построении эпюр Q и М в них следует рассматривать равновесие отсеченного свободного конца балки.

115

 

 

 

m

 

F

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

HA

 

 

 

B

 

z1

 

 

 

z

VA

z2

 

 

 

 

 

R

B

 

 

 

 

z3

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

Эп. Q, кН

32,5

 

z

12,5

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,5

+

 

 

+

 

 

 

 

 

20

20

 

 

Эп. М, кНм

20

 

 

 

5

 

-

 

 

 

 

 

 

+

2,81

 

+

 

 

 

 

 

7,5

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.3

 

 

6.1.2 Эпюры внутренних усилий при плоской деформации рам

При плоском изгибе в поперечных сечениях рамы возникают три внутренних усилия – М, Q, N. Осью эпюр М, Q, N служит ось рамы. Правило знаков для усилий при этом можно оставить таким же, как оно было сформулировано ранее.

Пример 6.1.2. Дано: h = 4 м; l = 3 м; F = 30 кН; q = 20 кН/м (рис. 6.4).

Построить эпюры М, Q, N.

116

 

 

q

 

 

 

C

h 2

 

F

 

 

 

 

 

 

l

h 2

HА

А

 

 

B

VA

 

RB

Рис. 6.4

Решение. 1. Определение опорных реакций.M A 0;

 

 

 

 

R l

ql 2

F

h

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

ql 2

Fh

 

20 9 30 4

50 кН;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

2l

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M B 0;

 

 

 

 

 

 

 

V

 

l F

h

 

 

ql 2

 

0;

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

Fh ql2

 

30 4 20 9

10 кН;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

2l

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 0; H A F 0; H A F 30кН.

Проверка. Для проверки составим сумму моментов относительно середины ригеля (точка С, рис. 6.4):

M

 

0;

V

 

l

H

 

h F

h

R

l

0;

 

A 2

 

 

 

 

C

 

 

 

A

2

B 2

 

10 1,5 ( 30) 4 30 2 50 1,5 0;

 

0 0.

2.Число участков на раме равно четырем.

3.Определение внутренних усилий и построение эпюр.

Для определения внутренних усилий введем подвижную систему координат zy. Начало координат будем размещать в начале каждого прямолинейного участка рамы, обходя ее по ходу часовой стрелки от левой опоры. Ось y направим внутрь рамы, ось z – вдоль оси соответствующего прямолинейного элемента (рис. 6.5, а).

117

а)

z

z3

 

 

 

б)

 

в)

50

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

z

 

60

 

-

10

50

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

2

y

3

y

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z4

 

60

62,5

 

 

-

-

F

 

 

4

 

 

30

 

 

 

 

60

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

z1

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

10

50

 

VA

 

 

 

RB

 

Эп. М, кНм

 

Эп. Q, кН

 

Эп. N, кН

 

 

 

 

 

z

 

д)

60 кНм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

10 кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I участок:

 

0 z

 

 

h

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 H A z1;

 

 

Q1 H A ;

 

N1 VA .

Функции N1

и Q1 – постоянны, M1 – линейная.

 

 

II участок:

 

h

z

 

h .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2 H A z2 F z2

 

 

 

; Q2

H A F;

N2 VA .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции N2

и Q2 – постоянны, M2 – линейная.

 

 

III участок. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части рамы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z3 l ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

H

 

h F

h

V

 

z

 

 

qz32

;

 

 

 

 

 

 

3

A

 

A

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q3 VA qz3; N3

H A F .

 

 

Функции N3

– постоянна, Q3

– линейно изменяется, M3 – парабола.

Подсчеты по всем участкам сведены в таблицу 6.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок

 

 

 

z, м

 

 

 

 

 

Q, кН

 

 

М, кНм

 

 

 

N, кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

–10

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

–10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

–10

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

–10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

0

 

 

III

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

62,5

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

–50

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

IV

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

–50

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

–50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

118

Так как Q3 в пределах участка меняется от 10 кН до –50 кН, найдем z3, соответствующее значению Q3 = 0, следовательно, M3 экстр при

z3* VqA 1020 0,5 м.

IV участок. Внутренние усилия определим, рассмотрев равновесие нижней части правой стойки рамы (рис. 6.5, а):

0 z4 h ;

M 4 0; Q4 0; N4 RB 50 кН.

В соответствии с результатами выполненных расчетов (табл. 6.2) строим эпюры М, Q, N (рис. 6.5, б, в, г). Положительные ординаты отложим внутрь рамы, отрицательные – наружу. При этом эпюра моментов окажется построенной на растянутых волокнах.

Статическая проверка правильности построения эпюр в раме.

Каждый «вырезанный» из рамы узел должен находиться в равновесии под действием внешних сил, приложенных к узлу, и внутренних усилий в рассеченных стержнях.

Вырежем, например, узел Г (рис. 6.5, а, д). Направление внутренних усилий показываем в соответствии с эпюрами М, Q, N и правилами знаков для них. Составим уравнения равновесия для узла:

Y 0; N Q 10 10 0; Z 0; 0 0;

MГ 0; М М 60 60 0.

Легко убедиться в том, что каждый из оставшихся узлов рамы тоже находится в равновесии.

6.1.3Формулы для напряжений, проверки прочности

иопределения перемещений при плоском изгибе стержней

Нормальные напряжения при плоском изгибе в точке поперечного сечения с координатой y от нейтральной оси

Мy ,

I x

здесь I x – момент инерции сечения относительно нейтральной оси. Условие прочности при чистом изгибе:

 

 

 

max

 

 

M max ymax

;

Wx

 

 

I x

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I x

 

 

ymax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

119

M max .

max Wx

Если материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию и имеет разные допускаемые напряжения при растяжении [ p ] и при

сжатии [ сж ], а сечение не симметрично относительно нейтральной оси, то

 

 

 

 

M max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M max

 

 

 

 

 

.

 

max

 

 

 

 

 

 

p

;

 

min

 

 

 

 

 

 

 

сж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wxp

 

 

 

 

 

 

Wxсж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wxp

I x

 

;

 

Wx сж

 

I x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ymax сж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ymax p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ymax p , ymax сж – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных во-

локон в сечении в растянутой и сжатой зонах. Формула Д. И. Журавского:

 

Q

S

отс

 

,

 

 

 

 

I xby

 

 

 

 

где Sотс – статический момент относительно нейтральной оси части площади поперечного сечения, расположенной выше или ниже точки, в которой подсчитывается касательное напряжение ;

by – ширина сечения на высоте, где определяется напряжение .

Определение главных напряжений при плоском изгибе:

 

 

 

1

 

 

; tg2

 

 

2

.

 

гл

 

2 4 2

гл

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчетные (эквивалентные) напряжения для полной проверки прочности балок при плоском поперечном изгибе по четырем теориям прочности:

рI 12 2 4 2 ;

рII 0,35 0,65 2 4 2 ;

рIII 2 4 2 ;

рIV 2 3 2 .

120

Дифференциальные зависимости между функциями прогибов , углов поворота сечения , изгибающего момента M , поперечной силы Q , распределенной нагрузки q , изменяющимися по длине стержня, при EI =

const представляются так:

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

Q ;

 

q ;

M

 

q ;

 

 

 

Q

 

 

z ;

;

M EI ;

Q EI ;

q EI IV ,

здесь штрихи обозначают производные по z.

Формула метода начальных параметров для определения перемещений при изгибе:

 

 

 

 

 

 

0 0 z

 

M z 2

 

Q z

3

 

 

q z4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2EI

 

 

6EI

 

24EI

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

M

 

(z z

)

2

 

Q

 

 

(z z

)3

 

q

 

(z z

)4

 

 

 

 

 

доп i

 

 

 

 

 

 

доп i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

доп i

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

,

 

 

 

z zi

 

 

2EI

 

 

 

 

 

6EI

 

 

 

 

 

 

24EI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 0 , 0 , M 0 ,Q0 – прогиб, угол поворота, изгибающий момент, попе-

речная сила в начале координат (начальные параметры);

q0 – интенсивность равномерно распределенной нагрузки на первом участке;

n – число границ между участками; zi – абсцисса i-й границы участка;

M доп , Qдоп , qдоп – конечные приращения соответствующих величин на границах участков (дополнительные параметры);

z zi – знак, указывающий, что все слагаемые, идущие по-

сле него, надо учитывать лишь тогда, когда z становится большим, чем zi – длины всех предшествующих участков балки.

6.1.4 Применение дифференциальных зависимостей между M, Q, q для построения эпюр усилий и определения нагрузок

Пример 6.1.3. По заданной эпюре моментов (рис. 6.6, а, б) построить эпюру Q и восстановить исходную нагрузку. Криволинейные участки эпюры очерчены по квадратным параболам с вершинами в отмеченных точках.

121

Соседние файлы в папке Задачник