Задачник / Глава 10 (254-297)

Вместо непосредственного интегрирования применим правило перемножения эпюр Верещагина:

где i – площадь эпюры МкF;

i – ордината на эпюре M к1 под центром тяжести площади эпюры

МкF ;

i – площадь эпюры M к1 ;

i – ордината на эпюре M к1 под центром тяжести площади эпюры

M к1 .

На рисунке 10.4, г, д показаны грузовое состояние основной системы и эпюра МкF . На рисунке 10.4, е, ж изображены единичное состояние основной системы и эпюра M к1 . Определим 1F и 11 с помощью этих эпюр.

3,218 10 3 1,273 10 3 4,491 1/кНм.

265

Находим X1:

X1 1F 14,335 10 3 3,192 кНм.11 4, 491

Ординаты эпюры Мк (рис. 10.4, з) на каждом участке определяются из уравнений равновесия отсеченной части.

На участке 1: MкBD X1 3,192 кНм;

на участке 2: MкСD X1 6,5 3,308 кНм;

на участке 3: MкАС X1 6,5 4,5 1,192 кНм.

В качестве проверки правильности расчетов вычислим угол закручивания сечения В:

Проверка подтверждает правильность эпюры Мк. Опасным является участок CD, где Мк = 3,308 кНм. Максимальные напряжения определим по формуле:

1,936 104 кН/м 2 19,36 МПа.

10.1.4Расчет неразрезных балок методом сил

в канонической форме

Задача 10.1.4. Для заданной статически неопределимой балки (рис. 10.5, а) построить эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q.

Решение. Степень статической неопределимости найдем по формуле

n C0 3 4 3 1, где C0 – число опорных связей. Шарнирно-подвижная опора соответствует одной связи, шарнирно-

неподвижная – двум, защемление – трем. Заданная балка один раз статически неопределима. Для ее расчета методом сил необходимо выбрать статически определимую основную систему путем отбрасывания соответствующей связи: опорной или, как это сделано в нашем случае, моментной (рис. 10.5, б). Мы получили две статически определимые балки, в которых взамен отброшенной связи поставлены моменты Х1. Теперь можно записать каноническое уравнение метода сил:

11X1 1F 0,

266

где 1F – перемещение по направлению неизвестного Х1 от заданной нагрузки (рис.10.5, в); 11 – перемещение по направлению неизвестного Х1 от единичного его значения X1 1(единичное перемещение, рис. 10.5, д).

Каноническое уравнение в данном примере выражает равенство нулю взаимного угла поворота сечений левого и правого пролета над промежуточной опорой в основной системе, т. е. поворот есть, но справа и слева от опоры он одинаков.

Для определения 1F и 11 по известным правилам на растянутых волокнах основной системы строим эпюры изгибающих моментов только от внешних нагрузок – эп. МF (рис. 10.5, г) и отдельно от X1 1 – эп. M1

(рис. 10.5, е). На этих эпюрах точками отмечены центры площадей. Используя способ Мора–Верещагина, вычислим свободный член

1F и единичное перемещение 11 :

Здесь в круглых скобках приведены площади, после них – ординаты. Подставляем значения 1F и 11 в каноническое уравнение и получа-

ем

1,67EI X1 5,01EI 0, откуда Х1 = 3,0 кНм.

Ординаты окончательной эпюры моментов для заданной статически неопределимой балки определяем по формуле M M F M1 X1. Для этого сначала строим эпюру M1 X1 (рис. 10.5, ж), а затем ее ординаты суммируем алгебраически с ординатами эпюры МF и получаем окончательную эпюру М (рис. 10.5, з).

Для построения эпюры Q воспользуемся дифференциальной зависимостью dM / dz Q , где dM / dz – тангенс угла наклона касательной к эпюре моментов.

267

Qлев 10,5 qz .

Для вычисления экстремума момента в левом пролете приравняем к

отсюда

Эпюра Q изображена на рисунке 10.5, и.

На рисунке 10.5, к представлена исходная балка с заданными нагрузками и опорными реакциями, найденными по величине скачков над опорами на эпюре Q.

Для проверки правильности вычисления опорных реакций спроектируем все силы на ось y:

Y 10,5 12 2 15,5 2 0 .

Пример 10.1.5. Для заданной статически неопределимой балки (рис. 10.6, а) построить эпюры М и Q, используя метод сил для раскрытия статической неопределимости.

Решение. Степень статической неопределимости найдем по формуле n C0 3 4 3 1.

Учитывая симметрию нагрузки, выбираем симметричную основную систему путем отбрасывания средней опоры и замены ее неизвестной Х1

(рис. 10.6, б).

Запишем каноническое уравнение метода сил: 11X1 1F 0, выражающее в данном примере равенство нулю суммы прогибов от внешних нагрузок и от опорной реакции Х1 в сечении, где была убрана промежуточная опора.

269

б)

X1

Рис. 10.6

270

Для определения коэффициента 11 и свободного члена 1F (рис. 10.6, в, д) на растянутых волокнах обычным способом строим эпюры МF и M1 (рис. 10.6, г, е). Эти эпюры получились симметричными, что упрощает вычисления. Затем по Мору–Верещагину находим перемещения:

Здесь в круглых скобках приведены площади, в квадратных – ординаты под центром тяжести; множитель 2 учитывает удвоение величин вследствие симметрии эпюр.

Подставим значения 11 и 1F в каноническое уравнение:

32 X1 48 0 , откуда Х1 = 4,5 кН.

3EI EI

Строим эпюру моментов от силы Х1 – эпюру M1 X1 (рис. 10.6, ж), а затем по формуле M M F M1 X1, суммируя эпюры на рисунке 10.6, г, ж, находим окончательную эпюру М (рис. 10.6, з). Поперечную силу строим

по дифференциальной зависимости Q dMdz (рис. 10.6, и).

На рисунке 10.6, к представлена исходная балка с заданными нагрузками и опорными реакциями, определенными по величине скачков на эпюре Q.

Проверим равновесие балки:

Y 3 2 3,75 4,5 3,75 3 2 0.

10.1.5 Расчет неразрезных балок методом сил с использованием уравнения трех моментов

Пример 10.1.6. Для заданной статически неопределимой балки (рис. 10.7, а) построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Решение. Балка один раз статически неопределима. Применим для решения уравнение трех моментов. Основная система, загруженная заданными силами и «лишней» неизвестной, изображена на рисунке 10.7, б. Записываем уравнение трех моментов:

Эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки в пролете, построенные по известным методам, представлены на рисунке 10.7, в.

271

272

Здесь 1, 2 , 3 – площади эпюр моментов от нагрузки в левом и правом пролетах основной системы с учетом их знаков; a1 – расстояние от левой опоры А до центра тяжести эпюры 1; a2 , a3 – расстояния от правой опоры до центров тяжести составляющих площадей эпюры моментов в

Подставляя эти значения в уравнение трех моментов, получаем:

откуда M1 3 кНм.

Строим эпюру опорных моментов (рис. 10.7, г). Складываем ее графически с эпюрой МF (рис. 10.7, д). Для построения эпюры поперечных сил используем способ дифференцирования эпюры изгибающих моментов.

В правом пролете поперечная сила равна тангенсу наклона прямых

В левом пролете построим сначала составляющие эпюры Q только от распределенной силы (эпюра Qq, рис. 10.7, в, е) и только от опорного момента М1 (эпюра Qм1, рис. 10.7, г, ж). Суммируя их, получаем оконча-

тельную эпюру Q (рис. 10.7, з). Расстояние z от левой опоры до точки, где Q 0 , находим из подобия треугольников:

273