Задачник / Глава 10 (254-297)

определяем по скачкам на эпюре Q: RA 10,5 кН; RB 15,5 кН, RC 2

кН. Сравните это решение с решением такого же примера 10.1.4, выполненным без применения уравнения трех моментов. Преимущество уравнения трех моментов заметно.

Пример 10.1.7. Для заданной статически неопределимой балки (рис. 10.8, а) построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Исходная система дважды статически неопределима. Применим для расчета уравнение трех моментов. Оно выведено для статически неопределимой неразрезной балки, лежащей только на шарнирных опорах, как по концам, так и в пролете.

Неразрезную балку, на концах которой имеются заделка или консоль, искусственно приводят к балке, лежащей на шарнирных опорах. Заделку

заменяют дополнительным пролетом l0 , но имеющим бесконечно большую жесткость, которая достигается тем, что пролет l0 устремляется к нулю.

Консоль мысленно «отсекается», и действие сил, приложенных к ней, приводится к сечению над опорой.

Выбираем основную систему в виде разрезной балки с шарнирами над опорами и «лишними» неизвестными – опорными моментами, M3 5 кНм

274

Рис. 10.8

275

Строим эпюру опорных моментов Моп (рис. 10.8, г), достраиваем эпюру моментов на консоли. Суммируем эпюры МF и Моп и получаем результирующую эпюру изгибающих моментов (рис. 10.8, д). Дифференцируем эпюру моментов и получаем эпюру поперечных сил. Определяем Q по участкам:

Q1 19,06 13,75 10,94 кН; 3

Q2 10 19,06 29,06 кН; 1

Q 5 10 1,67 кНм.

10.1.6 Расчет статически неопределимых рам методом сил

Пример 10.1.8. Для рамы (рис. 10.9, а) построить эпюры внутренних сил M, Q и N от заданной нагрузки, если I2 : I1 2 .

Решение. Количество «лишних» связей Н есть разность между числом опорных и абсолютно необходимых связей; Н = 5 – 3 = 2. В строительной механике Н = 3К – Ш = 3 1 1 2, здесь К – число замкнутых контуров, Ш – число простых шарниров. Итак, рама дважды статически неопределима. Для выбора геометрически неизменяемой статически определимой основной системы необходимо отбросить две «лишние» связи (рис. 10.9, б, в, г). Вариант 3 (рис. 10.9, г) дает более простые эпюры, удобные для перемножения при определении коэффициентов в канонических уравнениях.

Для построения эпюр от единичных неизвестных и внешних нагрузок в основной системе найдены опорные реакции. Построенные на растя-

276

нутых волокнах эпюры представлены на рисунке 10.9, д, е, з. Эпюра M S

(рис. 10.9, ж) построена суммированием эпюр от единичных неизвестных. Запишем два канонических уравнения:

11X1 12 X2 1F 0;

21X1 22 X2 2F 0.

Коэффициенты и свободные члены вычисляем по формуле Мора– Верещагина, для этого перемножим соответствующие эпюры и учтем, что

EI1 EI ; EI2 2EI ,

тогда

Здесь при умножении эпюр по формуле Мора–Верещагина знак «минус» ставится, когда площадь эпюры j или F и ордината единич-

ной эпюры i имеют противоположные знаки.

Для проверки вычисленных коэффициентов и свободных членов перемножим эпюры: M S саму на себя, затем МF и M S . В первом случае ре-

зультат перемножения должен оказаться равным сумме всех единичных коэффициентов, во втором – сумме свободных членов:

277

1F 2F EI1 EI2 EI1 .

Найденные коэффициенты и свободные члены, умножив на EI, подставим в исходные уравнения:

X1 0,5X 2 1 0 ;

0,5X1 2,33X 2 2 0.

Решив систему уравнений, получим: Х1 = 1,61 кНм, Х2 = 1,22 кНм. Найденные неизвестные подставляют в уравнения и проверяют правильность их определения.

Для получения окончательной эпюры М (рис. 10.9, л) строим эпюры от полных значений «лишних» неизвестных M i X i (рис. 10.9, и, к) и скла-

дываем их с МF в характерных сечениях по формуле:

M M F M1X1 M2 X2 .

Деформационную проверку результирующей эпюры М осуществляем перемножением по Мору–Верещагину эпюр М и M S (рис. 10.9, д, ж), в итоге получаем некоторое обобщенное перемещение 0 в направлении

всех отброшенных при выборе основной системы связей. Но так как этих перемещений нет, то и результат перемножения указанных эпюр должен оказаться равным нулю:

Чтобы построить эпюру поперечных сил Q, воспользуемся диффе-

ренциальной зависимостью dMdz Q tg . Рассмотрим каждый стер-

жень отдельно. Горизонтальный стержень (ригель), нагруженный равномерно распределенной нагрузкой, изображен на рисунке 10.9, м. Из этого рисунка видно, что

По этим данным построена эпюра QF в ригеле.

278

Для определения M max приравняем выражение для QF к нулю.

2,7 qz0 0 ; z0 2,7 / q 2,7 23 1,8 м.

Тогда

Эпюра Q изображена на рисунке 10.9, н.

Эпюру продольных сил N строим по эпюре Q способом вырезания узлов. В нашем случае один узел (рис. 10.9, о). Неизвестные продольные силы принимаются растягивающими. Если получается результат со знаком «минус», значит стержень сжат. К узлу прикладываем известные поперечные силы. Следует учесть, что положительные силы вращают узел по ходу часовой стрелки. Спроектировав силы на оси x и y, получаем: N1 0,81 кН, N2 3,3 кН, следовательно, обе силы – сжимающие.

Эпюра N изображена на рисунке 10.9, п.

На рисунке 10.9, р изображена заданная рама с приложенными к ней реакциями, взятыми из эпюр M, Q и N. Проверим равновесие:

1)M 0 0,81 6 32 4 2 2 1,64 3,3 4 16,86 16,84 0,02;

2)X 0,81 0,81 0 ;

3)Y 2,7 3,3 1,5 4 0 .

Следовательно, эпюры построены правильно.

279