Добавил:

turbo1121 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Задачник / Глава 15 (378-384)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2017

Размер:

490.24 Кб

Скачать

☆

Так как коэффициент запаса прочности зависит

мым нормами. Необходимо, чтобы соблюдалось условие

Глава 15 Прочность при циклически изменяющихся напряжениях

15.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

15.1.1 Некоторые расчетные зависимости

Цикл напряжений характеризуют следующие величины:

max , min – максимальное и минимальное напряжения цикла;

m	max	min	– среднее напряжение цикла;
m		2
		2
a	max	min	– амплитуда цикла напряжений;
a		2
		2
	r	min – коэффициент асимметрии цикла.
		max

Каждому значению коэффициента асимметрии цикла r соответствует определенный предел выносливости r – циклически изменяющееся

согласно условию	min	r напряжение, при превышении которого про-
	max

исходит усталостное разрушение образца или детали.

В расчетах на прочность при переменных напряжениях прочность детали принято оценивать по величине фактического коэффициента запаса

n, сравнивая его с допускаемым коэффициентом запаса [n], устанавливае- n n .

от коэффициента

асимметрии цикла, то обозначим его nr .

Коэффициент запаса прочности nr определяется формулой:

nr			1	,
nr		к	а r м	,
		к
	м п
	м п

где r 1 0,5 0 .

0,5 0

Вформулах использованы обозначения:

1 – предел выносливости образца при симметричном цикле;

378

0 – предел выносливости при пульсирующем («отнулевом») цикле;

к – эффективный коэффициент концентрации напряжений;

м – коэффициент, учитывающий масштабный фактор;

п – коэффициент влияния шероховатости поверхности образца или

детали;

r – коэффициент, учитывающий влияние асимметрии цикла на пре-

дел выносливости.

Кроме коэффициента запаса прочности по выносливости, при асимметричном цикле вычисляется также коэффициент по отношению к пределу текучести:

nт

max

Из двух значений nr и nт принимают меньший.

Если в формулах, приведенных выше, заменить на , то по ним можно вычислить коэффициент запаса по касательным напряжениям.

При плоском напряженном состоянии общий коэффициент запаса

прочности определяют по формуле:
n	n n		,

	n2	n2

где n и n – коэффициенты запаса,		определенные по формуле для nr от
действия только и только .

Подробнее вопрос о расчете деталей при циклически изменяющихся напряжениях и об определении коэффициентов п , к, , к, , м, , м,

изложен в учебниках по сопротивлению материалов и справочниках (например: Фесик С. П. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев, 1982. – С. 232–242; Вольмир А. С. Сборник задач по сопротивлению материалов. – М.: Физматиз, 1984. – С. 160–161, 337–339; Смирнов А. Ф. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1969. – С. 519–530; Спра-

вочник машиностроителя, том III).

15.1.2 Примеры определения коэффициента запаса прочности балки и вала, работающих при циклически изменяющихся напряжениях

Пример 15.1.1. Стрела консольного крана, изготовленная из двух швеллеров №18, подвергается возвратно-поступательному воздействию тележки с грузом F. Если размерами тележки пренебречь, то груз перио-

379

дически перемещается вдоль стрелы от точки В, а = 1,2 м, до точки С,

l = 3 м, I

1090 см2 (рис. 15.1, а).

а)

l=3 м

а=1,2 м

max

б)

в)

г)

M Fmax

Fа

min

M F

Рис. 15.1

Наибольший прогиб конца стрелы υmax 1,6 см. Материал стрелы – сталь, для которой E 2 105 МПа, т = 240 МПа; предел выносливости при симметричном цикле 1 = 180 МПа; предел выносливости при пульсирующем «отнулевом» цикле 0 = 320 МПа.

Опорное сечение стрелы (принято как защемление) имеет эффективный коэффициент концентрации напряжений к = 1,24, коэффициент поверхностной чувствительности п = 0,83 и масштабный коэффициентм = 0,68. Требуется вычислить коэффициент запаса прочности.

Решение. Вычислим момент инерции сечения стрелы:
I	x	2I 2 1090 2180	см4.
		x
Для определения величины груза F при υmax			1,6 см воспользуемся

формулой Мора с приемом Верещагина. Умножив единичную эпюру M (рис. 15.1, б) «саму на себя» и домножив на F, получаем:

υmax Fl3 ,

3EIx

отсюда

380

	3EI	x	υ	3 2 1011 2180 10 8 1,6 10 2
F		x	max			7751 Н 7,75 кН.
F				33		7751 Н 7,75 кН.
		l3		33
	Построим эпюры, соответствующие M Fmax				и M Fmin , т. е. при F на
конце консоли в точке С и в сечении В (см. рис. 15.1, в, г):
				M max Fl 7,75 3 23, 25 кНм;
				F
				M min Fa 7,75 1, 2 9,3	кНм.
				F

Тогда соответствующие растягивающие напряжения в верхних волокнах

max					M Fmaxh				23, 25 103 0,09								95,98		МПа;
max						Ix 2					2180 10 8						95,98		МПа;
						Ix 2					2180 10 8
min						M Fminh				9,3 103 0,09					38,39			МПа,
min							Ix 2				2180 10 8				38,39			МПа,
							Ix 2				2180 10 8
где h – высота швеллера.
Вычисление характеристик цикла:
среднее напряжение
				max			min					95,98 38,39					67,2		МПа;
		m					2					2					67,2		МПа;
		m

амплитудное напряжение
			max				min				95,98 38,39					28,54			МПа;
	a						2									28,54			МПа;
	a											2
												2
коэффициент асимметрии
							r	min					38,39	0,4 .
							r	max						0,4 .
								max				95,98

Используя значения пределов выносливости при симметричном и «отнулевом» цикле ( 1 и 0 ) и предела текучести т , строим в масштабе

схематизированную диаграмму предельных амплитуд (рис. 15.2). Вычисляем коэффициент запаса усталостной прочности:

а) аналитически

						1			0,5 0			180 0,5 320			0,125 ;
					r	1									0,125 ;
					r			0,5 0					0,5 320
								0,5 0					0,5 320
n			1								180					180	2,54 ;
n	r	к								1,24 28,54						62,7 8,06	2,54 ;
	r
													0,125	67,2
				a			m						0,125	67,2
		м п		a		r	m			0,68 0,83
		м п								0,68 0,83

381

б) по диаграмме предельных амплитуд – как отношение длин отрезков OA и OA :

nr OA 2,5. OA

Вычислим минимальный прогиб в точке С балки при F, находящем-
ся в точке В. Для этого по Мору–Верещагину перемножим эпюры M min и
																	F
M1 (см. рис. 15.1, б, г):
		2						3	1, 2			2
	Fa			a		7,75 10			1, 2							1, 2
υmin	Fa			a												1, 2
υmin	2EI		l			11		2180 10					8	3		3
	2EI			3	2	2 10		2180 10								3
			3,33 10 3 м 3,33 мм.
Тогда размах перемещений точки С будет
	A υmax υmin					16 3,33 12,67 мм.
				a ,	МПа
			240
	2		120
1	0							А
								А

					A
			a					45о				m ,			МПа
			0	m		120					240
				m		120					240
					0 2
						т
						Рис. 15.2
Пример 15.1.2. На стальной вал диаметром d = 80 мм действуют
многократно изменяющиеся изгибающий и крутящий моменты. Макси-
мальные и минимальные значения этих моментов следующие:
M max 3 кНм;							M min 2 кНм;
	u							u
M max			2,5 кНм;				M min			1,5 кНм.
	k							k
382

Пределы выносливости на изгиб и кручение 1 = 330 МПа; 1 = 190 МПа;

м, м, = 0,7; r, r, = 0,25; к, к, = 1,8; п, п, = 0,9.

Определить коэффициент запаса прочности вала.

Решение. Максимальные и минимальные нормальные напряжения

						max									M max						3 10 3			59,7
																u											МПа;
															W					50,27		10 6					МПа;
																u
						min							M min							2 10 3			39,79
																u											МПа.
															W			50,27 10 6									МПа.
																u
	Здесь Wu					– осевой момент сопротивления сечения вала,
						W					d					3	8 10 2 3
						W																50,27 10 6 м3 .
								u				32								32
												32								32
	Находим среднее и амплитудное нормальные напряжения:
									max					min						59,7 39,79						9,96 МПа;
					m																					9,96 МПа;
					m									2								2
														2								2
								max				min							59,7 39,79						49,75 МПа.
				a																					49,75 МПа.
				a								2										2
												2										2
	Определяем коэффициент запаса прочности по нормальным напря-
жениям:
nr ,										1														330				2,28.
nr ,			к,																		1,8							2,28.
			к,							a			r , m								1,8		49,75 0,25 9,96
																						0,9
		м,																			0,7
		м,					п,														0,7

Определяем коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям.

Максимальные и минимальные касательные напряжения

max		M max					2,5 10 3			24,87
			к								МПа;
		W		p		100,54		10 6			МПа;
		W				100,54		10 6

min	M min						1,5 10 3		14,92
		к									МПа.
		W	p		100,54			10 6			МПа.
		W			100,54			10 6

Здесь Wp – полярный момент сопротивления вала,

Wp d 3 8 10 2 3 100,54 10 6 м3. 16 16

383


Находим среднее и амплитудное касательные напряжения:
			max	min			24,87 14,92		4,98	МПа;
	m								4,98	МПа;
	m			2	2
				2	2
		max		min		24,87 14,92		19,86		МПа.
	a							19,86		МПа.
	a			2	2
				2	2

Определяем коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям:

nr ,			1			190			3,28.
nr ,		к,			1,80				3,28.
		к,	a	r , m	1,80	19,86	0,25	4,98
					0,7 0,9
	м, п,
	м, п,

Тогда общий коэффициент запаса прочности при сложном напряженном состоянии определим по формуле:

n	nr , nr,		2,28 3,28	1,87 .

	n2	n2	2,282 3,282
	r,	r ,

384

Соседние файлы в папке Задачник

#
20.12.20171.14 Mб124Глава 09 (223-253).pdf
#
20.12.20171.52 Mб117Глава 10 (254-297).pdf
#
20.12.2017749.61 Кб87Глава 11 (298-322).pdf
#
20.12.2017945.61 Кб157Глава 12,13(323-357).pdf
#
20.12.2017757.28 Кб87Глава 14 (358-377).pdf
#
20.12.2017490.24 Кб84Глава 15 (378-384).pdf
#
20.12.2017189.07 Кб95ЛИТЕРАТУРА (385,386).pdf
#
20.12.2017243.07 Кб84Приложение1,2 (387,388).pdf
#
20.12.2017316.46 Кб87Приложение3(389-392).pdf
#
20.12.2017226.27 Кб82Приложение4(393).pdf
#
20.12.2017267.26 Кб95Содержание(394-399)р.pdf