Магнетизм

Закон Ампераопределяет силу, действующую на проводник с током, помещенный в магнитное поле:

 

; ,

 

где – сила тока;– элемент длины провода (векторсовпадает по направлению с током);– длина проводника. Сила Ампера перпендикулярна направлению тока и направлению вектора магнитной индукции.

Если прямолинейный проводник длиной находится в однородном поле, то модуль силы Ампера определяется выражением (рис. 3.7):

.

 

 

Рис. 3.7. Правило левой руки и правило буравчика для определения направления силы Ампера

 

Сила Лоренца(полная электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях)

 

,

 

где – электрический заряд;– напряженность электрического поля;– скорость частицы;– индукция магнитного поля.

Только в магнитном поле на движущуюся заряженную частицудействует магнитная составляющая силы Лоренца (рис. 3.8)

 

.

 

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна вектору скорости и вектору магнитной индукции. Она не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, следовательно, работы не совершает.

Рис. 3.8. Сила Лоренца

 

Если частица влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям, то она равномерно движется в магнитном поле по окружности радиусом и периодом обращения:

; ,

 

где – масса частицы.

Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом , то она движется по винтовой линии (рис. 3.9).

 

 

Рис. 3.9. Движение по винтовой линии заряженной частицы в магнитном поле

 

 

Рис. 3.10. Заряженные частицы не выходят за пределы магнитной «бутылки». Поле может быть создано с помощью двух круглых витков с током

 

Отношение магнитного момента к механическомуL(моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите,

,

 

где ‑ заряд частицы;т ‑ масса частицы.

Вектор магнитной индукции(В)- это основная силовая характеристика магнитного поля (обозначается В). Пробный контур, помещенный в магнитное поле, испытывает со стороны магнитного поля действие вращающего момента сил М.

Бесконечно длинный ток величины I создает на расстоянии r от себя магнитное поле:

где Мо - магнитная постоянная, R - расстояние, I - сила тока в проводнике.

Магнитная индукция - это векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой в данной точке магнитного поля.

 

Единица магнитной индукции - тесла (Тл).

Магни́тная инду́кция— векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Определяет, с какой силоймагнитное поле действует на заряд, движущийся со скоростью.

В вакууме B = μ₀H.

Более конкретно, — это такой вектор, что сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на заряд, движущийся со скоростью, равна

где косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (направление вектора перпендикулярно им обоим и направлено по правилу буравчика).

 

Вектор магнитной индукции (В) – аналог напряженности электрического поля. Основной силовой характеристикой маг­нитного поля является вектор магнитной индукции.

Опытным путем было установлено, что для одной и той же точки магнитного поля максимальный вращающий момент М (момент сил) пропорционален произведению силы тока I в контуре на его площадь S. Величину IS называют магнитным моментом контура Pm.

Магни́тное по́ле — силовое поле, действующее на движущиесяэлектрические зарядыи на тела, обладающиемагнитным моментом, независимо от состояния ихдвижения; магнитная составляющаяэлектромагнитного поля.

Магнитное поле может создаваться током заряженных частици/илимагнитными моментамиэлектроновватомах(и магнитными моментами другихчастиц, что обычно проявляется в существенно меньшей степени) (постоянные магниты).

Магнитное поле создается движущимися заряженными частицами, поэтому магнитное поле всегда есть вокруг проводников с током.

Напряженность магнитного поля – величина, характеризующая интенсивность магнитного поля вокруг проводника без учета магнитных свойств среды, в которой находятся проводники с током. Напряженность магнитного поля зависит только от силы тока в проводнике и расстояния до проводника. Чем дальше от проводника, тем меньше напряженность магнитного поля, созданного этим проводником.

Рис. 2.1

Магнитная индукция (В) – характеризует величину и направление магнитного поля с учетом магнитных свойств среды. Вектор магнитной индукции в любой точке поля изображается по касательной к линии магнитного поля (рис. 2.1). Единица измерения магнитной индукции – Тесла (Т).

 

В = Н× μ₀ ×μ, где μ₀ – магнитная постоянная,

μ – магнитная проницаемость.

Магнитная проницаемость (μ) – характеризует магнитные свойства различных материалов. Это безразмерная величина, показывающая во сколько раз в данной среде магнитное поле сильнее, чем в вакууме. Для воздуха μ = 1. (большую магнитную проницаемость имеют только ферромагнитные материалы – железо, никель, кобальт и их сплавы).

Магнитная постоянная μ₀ = 4π × 10^-7 – магнитная проницаемость вакуума.

 

Направление линий магнитного поля определяется по правилу буравчика.

Правило буравчика - если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, то направление вращения его рукоятки указывает направление магнитных линий (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Правило буравчика Рис. 2.3 Правило левой руки Рис. 2.4 Правило правой руки

На проводник с током, расположенный в магнитном поле, действует электромагнитная сила (F), направление которой определяется по правилу левой руки.

Правило левой руки (рис. 2.3): если ладонь левой руки расположена так, что вектор магнитной индукции вхо­дит в нее, вытянутые четыре пальца совпадают с направлением тока, то отогнутый под прямым углом большой палец левой руки указывает направление электромагнитной силы,которая стремится переместить проводник.

 

Электро­магнитная сила определяется по формуле: F = B× I×l

 

где В – магнитная индукция, Т;

I – сила тока, протекающего по проводнику, А;

l – длина проводника, м;

 

Проводник, движущийся в магнитном поле, можно рассматривать как простейший электродвигатель.

Электромагнитная индукция – явление возникновение электродвижущей силы (ЭДС) на концах проводника, движущегося в магнитном поле (то есть механическая энергия движения проводника превращается в электрическую энергию). Наведенная ЭДС называется индуктированной ЭДС. Направление индуктированной ЭДС определяется по правилу правой руки.

Правило правой руки (рис. 2.4): ладонь правой руки располагают так, чтобы магнитные линии входили в нее, отогнутый под прямым углом большой палец совмещают с направлением движения проводника, тогда вытянутые четыре пальца укажут направление индуктированной ЭДС.

 

Движущийся под действием механической силы в магнитном поле провод можно рассматривать как простейший электрический генератор.

В 1820 г. Био и Савар исследовали магнитные поля, создаваемые токами, текущими по тонким проводам различной формы. Путем анализа этих экспериментальных данных Лаплас установил закон, получивший название закона Био-Савара-Лапласа:

1) Магнитное поле любого тока может быть найдено как векторная сумма полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. Каждый элемент тока характеризуется величиной , где- сила тока, текущего в этом элементе,- длина элемента тока, а векторуказывает направление тока.

2) Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока Лаплас получил выражение

(6.4)

 

где - радиус-вектор, проведенный из точки расположения элемента тока в точку наблюдения, где определяется индукция,(см. рис. 6.3),- коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения и магнитных свойств среды, где протекает ток; в системе СИ для вакуума

 

 

где - магнитная проницаемость вакуума, измеряемая в.

Модуль выражения (6.4) равен

 

(6.5)

 

где - угол между векторамии.

Рис. 6.3. К формулировке закона Био-Савара-Лапласа

Применим формулу (6.5) для вычисления магнитного поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямолинейному проводу теоретически бесконечной длины (см. рис. 6.4).

 

Рис. 6.4.

 

Векторы от всех элементов токапрямолинейного провода в точке наблюдениянаправлены одинаково – за плоскость чертежа. Точка наблюдениянаходится на расстоянииот провода. Согласно рис. 6.4,

 

 

Эти выражения подставим в (6.5):

 

 

При движении вдоль провода угол изменяется в пределах отдо. Поэтому

(6.6)

 

Линии индукции магнитного поля - касательные к вектору индукции в каждой точке. Для прямолинейного провода с током эти линии представляют собой концентрические окружности, охватывающие провод, как показано на рис. 6.5. Плоскости окружностей перпендикулярны к проводу.

 

Рис. 6.5. Линии индукции магнитного поля

прямолинейного провода с током

 

Направление обхода линий индукции задается вектором индукции магнитного поля. Это направление связано с направлением тока в проводе по правилу правого винта, как видно из рис. 6.5.

Применение принципа суперпозиции и формулы (6.4) позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого постоянным током силой , который течет по замкнутому контуру:

 

(6.7)

 

где - радиус-вектор, проведенный от элемента токак точке наблюдения, где вычисляется вектор.

Формула (6.7) применима для линейного тока. Пусть постоянный ток распределен в объеме с плотностью. Переход от линейного тока к объемному току поясняет рис. 6.6, где показан элемент тонкого проводника длинойи поперечным сечением.

Рис. 6.6.

Объем элемента равен . Связь силы тока с плотностью тока в проводнике дается формулой, откуда, или в векторном виде

(6.8)

 

С учетом (6.8) из (6.7) выражаем индукцию магнитного поля, созданного объемными токами, распределенными в объеме как

 

(6.9)

Теорема Гаусса для поля В: поток век­тора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Результирующая сила, действующая на контур, равна интегралу по контуру с током, т.е.

.

Рассмотрим однородное магнитное поле.

,

, а

,

т.е. результирующая сила Ампера равна нулю.

В неоднородном магнитном поле в общем случае

.

Рассмотрим элементарный контур (плоский контур, размеры которого малы). Введем

,

где дипольный магнитный момент,

(или просто магнитный момент); аналогичен моменту, действующему в электрическом поле на диполь, .

Магни́тный моме́нт, магни́тный дипо́льный моме́нт — основная величина, характеризующая магнитные свойства вещества (источником магнетизма, согласно классической теории электромагнитных явлений, являются электрические макро- и микротоки; элементарным источником магнетизма считают замкнутый ток).

А^.м².

Здесь - площадь, ограниченная контуром;

- нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока по правилу правого винта (рис.49).

Cила, действующая на такой контур в неоднородном магнитном поле,

.

эта формула записана с учетом малости контура,

(приводится без вывода).

Это выражение аналогично выражению для силы, действующей на электрический диполь в электрическом поле

.

В проекции на некоторую ось :

.

В однородном поле

(т.к. ).

Сила не совпадает по направлению с вектором и вектором, а совпадает с направлением производной векторапо направлению вектора, или вектора , в месте расположения контура.

Например, для прямого тока - см. рис. 50, 51.

Определим момент сил. Рассмотрим однородное поле.

суммарный момент не зависит от точки, относительно которой определяется момент сил, и

- по определению;

для контура произвольной формы

. (*)

- для плоского контура,

- в общем случае.

Из (*) и свойств векторного произведения

и ;

.

- устойчивое положение контура,

- неустойчивое положение контура (при отклонении возникает момент сил, стремящийся еще более отклонить контур).

Формула (*) используется и для неоднородных магнитных полей при малых размерах контура (когда влиянием неоднородности на момент можно пренебречь, - см., например, элементарный контур).

Элементарный контур в неоднородном магнитном поле (как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле)

1) поворачивается к положению устойчивого равновесия ;

2) под действием контур втягивается в область, гдебольше.

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади по которой течёт токПри этом магнитным моментом диполя (в системеСГСМ) называют величину где— единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента , действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитногодиполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят тудамагнитный момент ивектор магнитной индукции :

а) Результирующая сила F, действующая на диполь со стороны внешнего электрического поля E, создаваемого сторонними зарядами, равна векторной сумме сил, действующих на отдельные заряды диполя, и равна:

,

где E₊ и E_– – вектора напряженности электрических полей в т. нахождения положительного q₊ и отрицательного q_– зарядов диполя, соответственно, а

ΔE = (E₊ – E_–) – есть приращение поля E на длине l (расстояние между зарядами диполя) вдоль направления вектора P электрического момента диполя (от q_– к q₊).

Т. к. расстояние l между зарядами диполя мало, то ΔE = (E₊ – E_–) = ΔE*l/l = (мы ΔE помножили и разделили на малое значение l, эквивалентное Δl и отношение ΔE/Δl при Δl → 0 заменили на частную производную (поляE по направлению l )) и тогда

здесь – есть производная по направлению, она не совпадает по направлению ни с векторомE, ни с вектором l, т.е. P. Таким образом, видно, что простота формулы обманчива.

В однородном электрическом поле, т. е. поле E не зависит от координат, производная = 0 и силаF = 0.

б) Наряду с результирующей силой F со стороны электрического поля на диполь действует момент сил M, стремящийся развернуть диполь (его электрический момент P) по направлению поля E. Его величина равна:

 

M =[r₊F₊]+ [r_–F_–],

где F₊ = qE₊ , а F_– = –qE_– – силы, действующие на положительный и отрицательный заряды диполя со стороны электрических полей E₊ и E_– в точках нахождения этих зарядов, соответственно и тогда для M можно записать:

M =q([r₊ E₊]– [r_– E_–]

При малом l можно положить E₊ ≈ E_– = Е в центре диполя и тогда:

M =q([(r₊– r_–)E]

 

Т.к. r₊– r_–= l, то M=q[lE]= [PE]

M= [PE]

 

Таким образом, в неоднородном электрическом поле диполь будет стремиться: а) повернуться по направлению поля E(стремится к P↑↑Eи

б) переместиться в сторону, где модуль поля |E| максимален.

При внесении того или иного вещества в магнитное поле, например образованное токами в проводах, поле изменяется. Причиной является то, что ряд веществ является магнетиками, т.е. они способны под действием магнитного поля намагничиваться – приобретать магнитный момент. Намагниченное вещество создает свое магнитное поле. Результирующее полебудет равногдеи– поля, усредненные по физически бесконечно малому объему. Как и поле, полене имеет точечных источников (магнитных зарядов). Следовательно, теорема Гаусса для результирующего поля при присутствии магнетика записывается так:

т.е. линии вектораи при наличии вещества в магнитном поле непрерывны. Механизм намагничивания. Известно, что молекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом из-за движения электронов по замкнутым микроскопическим орбитам в пределах каждой молекулы (атома). Каждому магнитному моменту соответствует молекулярный ток – элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспорядочно. Тогда равны нулю и поле, и суммарный магнитный момент вещества. Во внешнем полемагнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию и вещество намагничивается, возникает поле. Суммарный магнитный момент вещества будет отличен от нуля. При внесении во внешнее поле веществ, молекулы которых не имеют при отсутствии полямагнитного момента, в молекулах индуцируются молекулярные токи. Следовательно, вещество приобретает магнитный момент, что и приводит к возникновению поля. Таким образом, намагничивание вещества обусловлено преимущественной ориентацией или индуцированием микроскопических молекулярных токов во внешнем магнитном поле. Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению макроскопических токов, называемых токами намагничивания.Токи намагничивания создают дополнительное магнитное поле. Токами проводимости называют текущие по проводникам токи, связанные с перемещением в веществе носителей тока. Отметим, что в отличие от токов проводимости токи намагничивания не приводят к перемещению заряда по магнетику.

Степень намагничивания магнетика характеризуется намагниченностью– магнитным моментом единицы объема:

где – физически бесконечно малый объем в окрестности данной точки;– магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме. Намагниченность можно также определить какгде n – концентрация молекул;– средний магнитный момент молекулы. Если вещество намагничено однородно, то векторво всех точках магнетика одинаков.

Теорема о циркуляции вектора намагниченности: циркуляция векторапо произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов намагничивания, охватываемых контуром L:(16.4)гдепричем интегрирование проводится по произвольной поверхности контура L. Поле вектораограничено областью пространства, заполненной магнетиком, и зависит от всех токов – намагничивания и проводимости. Дифференциальная форма уравнения (16.4) имеет вид:(16.5) т.е. ротор вектора намагниченности равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства. Поскольку в магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, то циркуляция векторабудет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания:(16.6) где I и– соответственно токи проводимости и намагничивания, охватываемые контуром L. Формулу (16.6) сложно использовать из-за трудности определения токовв общем случае. Для упрощения изучения поля в магнетиках вводят вспомогательный вектор. Пусть в уравнениях (16.6) и (16.4) циркуляция векторовиберется по одному контуру L. Преобразуем уравнение (16.6):Напряженностью магнитного поля называется вектор. (16.7) Единица напряженности магнитного поля в СИ – ампер на метр (1 А/м).

Теорема о циркуляции вектора

Обобщим теорему о циркуляции вектора (15.15), полученную для магнитного поля в вакууме. Используем выражение (16.7) и запишем теорему о циркуляции вектора(закон полного тока для магнитного поля в среде):(16.8) т.е. циркуляция векторапо произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора: ротор вектораравен плотности тока проводимости в той же точке вещества(16.9) Данная теорема выражает определенное свойство поля вектора, само же поле этого вектора она не определяет. Полев общем случае зависит от всех токов – и от токов проводимости, и от токов намагничивания. Связь между векторамии. В несильных полях намагниченностьпропорциональна напряженностиполя, вызывающего намагничивание. Поэтому можно ввести понятие магнитной восприимчивости χ вещества:(16.10) где χ – безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика. В отличие от диэлектрической восприимчивости ε, которая всегда положительна, магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной. Слабомагнитные вещества – магнетики, для которых, – подразделяются на парамагнетики (χ > 0) и диамагнетики (χ < 0). У парамагнетиков­­ , у диамагнетиков. Связь между векторамии. Слабомагнитные вещества подчиняются зависимости (16.10). Для них выражение (16.7) для вектора напряженности магнитного поля принимает видПоэтому получаем в случае однородной изотропной среды (1 ) ,(16.11) где– магнитная проницаемость среды – величина, характеризующая реакцию среды на воздействие внешнего магнитного поля напряженностью Н (см. подтему 15.1). Магнитные свойства диамагнетиков (m 1) выражены очень слабо. Например, у диамагнетиков водорода, воды и висмута магнитная восприимчивость χ равна соответственно -0,063·10-6 , -9,0·10-6 и -284·10-6 . Для таких парамагнетиков, как воздух, платина и жидкий кислород, величина χ составляет соответственно 0,38·10-6 , 360·10-6 и 3400·10-6 . Теорему о циркуляции вектора(16.6) при заполнении магнетиком всего пространства, где имеется магнитное поле, часто записывают так:. (16.12) Граничные условия для векторови. Рассмотрим границу двух достаточно протяженных (бесконечных) слабомагнитных веществ 1 и 2 с магнитными проницаемостями m1 и m2 соответственно. Пусть на границе раздела магнетиков нет токов проводимости. Линии индукциии напряженностимагнитного поля испытывают излом на границе раздела. Нормальные составляющие векторовив средах будем обозначать соответственно Bin и Hin (i = 1,2 ). Тангенциальные составляющие векторов – касательные к поверхности раздела – соответственно Bit и Hit . С помощью теоремы Гаусса для вектора B r (16.1) и теоремы о циркуляции вектора(16.8) можно получить следующие условия для векторовина границе раздела двух магнетиков:(16.13а) Таким образом, при переходе через границу раздела двух однородных магнетиков, когда на границе раздела нет токов проводимости, нормальная составляющая вектора магнитной индукциии тангенциальная составляющая вектора напряженностинепрерывны, т.е. не изменяются. При этом тангенциальные составляющие вектораи нормальные составляющие векторапретерпевают скачок. В результате получаем закон преломления линий вектора, который также выполняется в изотропных магнетиках для линий вектораполя:(16.14) где a1 и a2 – углы между линией индукции(напряженности) и нормалью к поверхности раздела магнетиков. В заключение отметим, что линии векторавсегда замкнуты, в то время как на границе двух магнетиков линии векторамогут возникать или обрываться (из-за поверхностных токов намагничивания). Ферромагнетизм. Ферромагнетиками называются твердые вещества, обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий – магнитного поля, деформации, изменения температуры. Ферромагнетики в отличие от слабомагнитных диа- и парамагнетиков являются сильномагнитными средами: внутреннее магнитное поле в них может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле. Такими свойствами обладают, например, переходные металлы (железо Fe, кобальт Со, никель Ni), некоторые редкоземельные элементы и ряд сплавов. Большой вклад в экспериментальное изучение свойств ферромагнетиков внес А. Г. Столетов (конец XIX в.). Основная кривая намагничивания ферромагнетика – это кривая намагничивания J = J(H), рис. 16.1. На рис. 16.1 предполагается, что в исходном состоянии тело не намагничено. Магнитная индукцияферромагнетиков зависит от, подобно намагниченности, нелинейно. Поэтому магнитная проницаемость μ зависит от напряженности Н поля также нелинейно, рис. 16.2.

Магнитным гистерезисом называется явление, когда предыстория намагничивания определяет зависимость намагниченности J от напряженности магнитного поля Н (или В от Н) в ферромагнетике, рис. 16.3.

Если ферромагнетик намагнитить до насыщения (кривая 0–1), а затем уменьшать Н (кривая 1–2), то при Н = 0 в ферромагнетике останется остаточная намагниченность ocт J . Это явление используют при изготовлении постоянных магнитов. Для того чтобы уменьшить намагниченность до нуля, надо приложить противоположно направленное поле (точка 3), с напряженностью Нс, которая называется коэрцитивной силой. При увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3–4), достигая насыщения (точка 4). Затем его можно опять размагнитить (кривая 4–5–6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6–1). Изменение намагниченности описывается петлей гистерезиса – кривой 1–2–3–4–5–6–1. Когда в точках 1 и 4 достигается магнитное насыщение ( наc J – намагниченность насыщения), получается максимальная петля гистерезиса. Иначе получаются подобные петли гистерезиса, но как бы вписанные в нее, рис. 16.3. Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри ТС , при которой он теряет свои ферромагнитные свойства. При нагревании выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик, рис. 16.1. Отметим, что физическую природу ферромагнетизма удалось понять только с помощью квантовой физики.