Динамика

1. Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция— это свойство тела сохранять скорость своего движения неизменной (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают разной инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их скорости. Величина инертности характеризуется массой тела. Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

2. Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО). Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

3. Третий закон Ньютона описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая — на первую с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия .

Законы Ньютона

1. выполняются только в инерциальных системах отсчета

2. неприменимы к явлениям микромира

3. нельзя применить для объектов, скорость движения которых сравнима со скоростью света

Инерциа́льная систе́ма отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно, либо покоятся. Эквивалентной является следующая формулировка, удобная для использования в теоретической механике: «Инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным». Законы Ньютона, а также все остальные аксиомы динамики в классической механике формулируются по отношению к инерциальным системам отсчёта

Всякая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО равномерно, прямолинейно и без вращения, также является ИСО. Согласно принципу относительности, все ИСО равноправны, и все законы физики инвариантны относительно перехода из одной ИСО в другую. Это значит, что проявления законов физики в них выглядят одинаково, и записи этих законов имеют одинаковую форму в разных ИСО.

Уравнения движения материальной точки (II закон Ньютона)

1. В векторной форме: ,, гдеFi геометрич. Сумма сил, действ. На мат. Точку., p=mv – импульс, n – число сил, действ. На точку.

2. В координатной форме: ,,или,,, где суммаFi – сумма проекций сил

Движение системы кроме действующих сил зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обозначаем М или m) равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему.

распределение масс в системе определяется значениями массее точек и их взаимными положениями, т. е. их координатами. Однако оказывается, что при решении тех задач динамики, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета распределения масс достаточно знать не все величины, , а некоторые, выражаемые через них суммарные характеристики. Ими являются: координаты центра масс (выражаются через суммы произведений масс точек системы на их координаты), осевые моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы на квадраты их координат) и центробежные моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы и двух из их координат). Эти характеристики мы в данной главе и рассмотрим.

Центр масс. В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах , после чего, сократив на g, найдем:

(1)

В полученные равенства входят теперь массыматериальных точек (частиц), образующих тело, и координатыэтих точек. Следовательно, положение точки действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если подпонимать соответственно массы и координаты точек системы.

Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определять его радиусом-вектором, то из равенств (1) дляполучается формула

где — радиусы-векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают. Но в отличие от центра тяжести понятие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом силовом поле (например, в центральном поле тяготения), и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смысл не только для твердого тела, но и для любой механической системы.

Закон движения                                   dP/dt = M∙dV_c/dt = ΣF_i

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

В частности, центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится. Изменение импульса центра масс происходит за счет внешних сил.

Внутренние силы не влияют на характер его движения, если внешнее воздействие на систему постоянно и однородно. Например, во время салюта движение центра масс разорвавшегося пиротехнического снаряда в постоянном однородном поле силы тяжести происходит по параболе.

Если внешнее воздействие изменяется, то на различные части системы начинают действовать разные силы и характер движения центра масс меняется. В качестве примера рассмотрим движение системы, состоящей из одного тела - снаряда. В случае падения одной из частей разорвавшегося в воздухе снаряда на землю в системе появится новая внешняя сила - сила реакции опоры. Характер движения центра масс системы (осколков снаряда) при этом изменится. Наличие внутренних сил в этом примере является необходимым условием изменения характера движения центра масс системы. Без этих сил, обусловивших распад снаряда на части, не произошло бы изменения траектории его движения вплоть до падения снаряда на землю.

Момент импульса

Моме́нт и́мпульса - характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета называется вектор равный векторному произведению векторови:

,

где - радиус-вектор материальной точки относительно точки О.

 - модуль вектора момента импульса,

где - плечо вектораотносительно точки О.

Момент силы

Момент силы -  векторнаяфизическая величина, равнаявекторному произведениюрадиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдоетело.

Моментом силы относительно точки О называется вектор

,

где - равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку.

Равнодействующая сила – это сила, которая равна результирующей силе и которая создает момент, равный суммарному моменту всех внешних сил.

 - модуль момента,

где - плечо вектораотносительно точки О.

Пара сил – это две равные по модулю, противоположено направленные и не действующие вдоль одной прямой силы и.

Плечо пары – расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы.

 - момент пары относительно любой точки одинаков.

Уравнение моментов

 - уравнение моментов:

скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки во времени в выбранной системе отсчета равно моменту равнодействующей силы относительно той же точки.

С помощью уравнения моментов решаются две задачи:

1. Известно: найти .

2. Известно: найти за .

 - импульс момента силы.

Динамические характеристики относительно неподвижной оси

 - основной закон динамики точки, вращающейся вокруг неподвижной оси:

скорость изменения момента импульса частицы относительно неподвижной оси равна результирующему моменту всех внешних сил, действующих на точку, относительно этой оси;

- проекция момента импульса и

 - проекция момента силы на ось .

В частном случае :

если момент силы относительно неподвижной оси равен нулю, то момент импульса остаeтся постоянным относительно этой оси (вектор может меняться).

Проекции и не зависят от выбора точки отсчета О.

Момент инерции твердого тела

 - импульс системы материальных точек,

 - момент импульса.

 - момент импульса твердого тела относительно оси вращения,

- момент инерции твердого тела относительно оси,

где - радиус-вектор-ой частицы,

 - расстояние от оси вращения до -ой частицы.

 - формула для определения момента инерции твердого тела,

где - плотность тела в данной точке,

 - объем элемента, находящегося на расстоянии от оси.

Пример. Найти момент инерции однородного цилиндра (- радиус,- высота) относительно оси, совпадающей с его осью.

Выделим элементарные слои, находящееся на расстоянии от оси цилиндра, массой

.

Элементарный момент инерции такого слоя равен

,

и тогда суммарный момент инерции цилиндра равен

с учетом того, что .

Моменты инерции некоторых однородных тел массой 

Тело
Обруч (кольцо)
Тонкий стержень: 1. относительно середины 2. относительно конца		1. 2.
Диск (цилиндр): 1. относительно центра 2. относительно образующей		1. 2.
1. Шар 2. Сферическая оболочка		1. 2.

Теорема Штейнера:

момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерцииотносительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масстела, и произведения массы тела на квадрат расстояниямежду осями

.

Уравнение динамики вращения твердого тела

,

где - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения.

Момент инерции – мера инертности тела при его вращении вокруг неподвижной оси.