Пример.

Определение. Любой вектор вида  = называется линейной комбинацией векторов . Числа  - коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор   является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор  линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов  линейно-зависима, т. к. вектор .

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства : .

 2. В системе векторов   базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы. 

13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов  и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. =,   - угол между векторами и . 

 Свойства скалярного произведения:

1.     =

2.     ( +  ) =

3.     

4.     

5.     , где   – скаляры.

6.     два вектора перпендикулярны (ортогональны), если  .

7.     тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где  и .

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Условие ортогональности векторов.

Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

a · b = 0

14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz в пространстве. Получим формулу для нахождения расстояния от точки до точки .

В общем случае, точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные координатным осямОх, Оу и Oz. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями дадут нам проекции точек А и В на эти оси. Обозначим проекции .

Искомое расстояние между точками А и В представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке. По построению, измерения этого параллелепипеда равны и . В курсе геометрии средней школы было доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, поэтому, . Опираясь на информацию первого раздела этой статьи, мы можем записать следующие равенства , следовательно, откуда получаем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве .

Эта формула также справедлива, если точки А и В

• совпадают;

• принадлежат одной из координатных осей или прямой, параллельной одной из координатных осей;

• принадлежат одной из координатных плоскостей или плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.