![](/user_photo/13020_ieU8Z.jpg)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Векторная алгебра
методические указания
и индивидуальные задания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
института транспорта
очной формы обучения
Тюмень 2003
Утверждено редакционно–издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Бакановская Н.Н., ассистент
Редактор: Скалкина М.А., к.ф.–м.н., профессор
© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
2003
Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач.
Перед выполнением индивидуальных заданий рекомендуем ознакомиться с решением заданий нулевого варианта, изложенных в данных методических указаниях.
З
а д а н и е 1. Написать разложение вектора
по векторам
,
,
,
если
,
,
,
.
Р
е ш е н и е. Запишем вектор
в виде линейной комбинации векторов
,
и
:
.
Найдем коэффициенты
,
,
.
Для этого запишем разложение вектора
в координатной форме:
Подставим координаты заданных векторов. Получим систему
решив
которую, найдем коэффициенты
.
Т.е.
.
З
а д а н и е 2. Найти угол между векторами
и
,
если
,
,
,
.
Р
е ш е н и е. Воспользуемся формулой
.
Определим координаты векторов
и
,
при этом учтем, что при умножении вектора
на число, мы умножаем на это число каждую
координату этого вектора, а при сложении
векторов – складываем одноименные
координаты:
,
.
Найдем
скалярное произведение векторов
и
и их длины.
,
,
.
Подставив в формулу, получим
.
Отсюда
.
З
а д а н и е 3. Найти проекцию вектора
на вектор
,
если
,
,
.
Р
е ш е н и е. Проекция вектора
на вектор
находится по формуле
.
Определим координаты векторов
и
,
их скалярное произведение и длину
вектора
:
,
,
,
.
Тогда
.
З
а д а н и е 4. Вычислить площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
если
,
.
Р е ш е н и е.
Площадь
параллелограмма будем искать по формуле
.
Для этого найдем сначала координаты
векторов
и
,
а затем их векторное произведение.
,
,
.
Вычислим
модуль полученного векторного
произведения, который и будет численно
равен искомой площади параллелограмма:
З
а д а н и е 5. Параллелограмм построен на
векторах
и
,
где
,
,
^
.
Вычислить длину диагоналей этого
параллелограмма, угол между диагоналями
и площадь параллелограмма.
Р е ш е н и е.
,
,
Угол
между диагоналями обозначим буквой
,
тогда
Следовательно,
З
а д а н и е 6. Компланарны ли векторы
,
,
?
Р е ш е н и е. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов:
векторы
некомпланарны.
З
а д а н и е 7. Точки
являются вершинами пирамиды. Вычислить
ее объем, площадь грани
и высоту пирамиды, опущенную на эту
грань.
Р
е ш е н и е. Объем пирамиды будем искать
по формуле
,
где
,
и
–векторы,
совпадающие с ребрами пирамиды. В нашем
случае такими векторами будут
.
Найдем координаты этих векторов, а затем их смешанное произведение.
Теперь
найдем площадь грани
по формуле
.
.
Тогда площадь грани будет равна
Т.к.
,
то высотаH
=
,
опущенная на грань
,
равна
.
З
а д а н и е 8. Найти вектор
,
перпендикулярный к векторам
и
и удовлетворяющий условию
.
Р
е ш е н и е. Пусть вектор
имеет координаты
.
Т. к. вектор
перпендикулярен векторам
и
,
то
.
Запишем все три скалярных произведения
в координатной форме:
Решив
полученную систему, получим, что
.
З
а д а н и е 9. Зная векторы
и
,
совпадающие с двумя сторонами треугольника,
найти угол при вершине
и площадь треугольника.
Р
е ш е н и е. Угол
при вершине
– это угол между векторами
и
.
Вектор
,
тогда
,