Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

8. Прямоугольная система координат. Понятие вектора.

Прямоугольная или декартова система координат — наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(a, b).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве 

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у  которого одна из ограничивающих его точек  принимается за начало, а вторая — за конец.  

 

Если А — начало вектора и В — его конец, то вектор  обозначается символом . 

 

Обычно  векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой либо выделяют жирным шрифтом: ,a.   

Вектор изображается  отрезком со стрелкой на конце: 

 

 

Длина вектора называется егомодулем и обозначается символом .  Вектор, у которого, называетсяединичным.  Вектор называется нулевым (обозначается ), если начало и конец его совпадают.    Нулевой вектор не имеет определенного  направления и имеет длину, равную нулю.  Векторыи, расположенные на одной  прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными.  Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.  Два вектора иназываются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.  В этом случае пишут .  Все нулевые векторы считаются равными.  Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно  самому себе, помещая его начало в любую точку  пространства (в частности, плоскости). Такой  вектор называетсясвободным.  Пример. Рассмотрим квадрат ABCD.  На основании определения равенства векторов можно записать:и, но,, хотя.  Два коллинеарных вектора (отличные от  нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называютсяпротивоположными. _  Вектор, противоположный вектору ,  обозначается.  Для векторапротивоположным является вектор.