- •2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- •3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- •4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- •5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- •6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- •7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Доказательство (условия совместности системы)
- •9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- •Условия коллинеарности векторов
- •12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- •Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- •Пример.
- •13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- •14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- •Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- •15. Векторное произведение векторов.
- •16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- •18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- •19. Нормированное уравнение прямой.
- •20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- •21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- •22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- •23. Каноническое уравнение эллипса.
- •24. Каноническое уравнение гиперболы.
- •25. Каноническое уравнение параболы.
- •26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- •28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- •29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- •30. Нормированное уравнение плоскости
- •31. Расстояние от точки до плоскости.
- •32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- •33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- •34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- •Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- •36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- •37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- •38. Сферическая система координат.
21. Расстояние от точки до прямой в r2.
Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.
Если - полярный угол нормали, р - длина отрезка (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде
;
уравнение этого вида называется нормальным.
Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением точки от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты , точки и нормальное уравнение прямой , то отклонение точки от этой прямой может быть вычислено по формуле
.
Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.
Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .
Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой
.
Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
Это плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,
нераспадающиеся линии:
y2 = 2px — параболы,
распадающиеся линии:
— пары пересекающихся прямых,
— пары мнимых пересекающихся прямых,
x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,
x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,
x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.
Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. — выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:
S = a11 + a22, (aij = aji).
Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ ≠ 0; положительное значение инварианта δ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ < 0, для парабол δ = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Δ и S: если Δ и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Δ и S одного знака.
Три основные инварианта Δ, δ и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения (См. Движение) евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ, δ и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности
|CM| = R. (1)
Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.
Так как | СМ | = √(x — a)2 + (у — b)2, то уравнение (1) можно записать так:
√(x — a)2 + (у — b)2 = R
или
(x — a)2 + (у — b)2 = R2 (2)
Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение
(x — l)2 + (y + 3)2 = 25
есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид
x 2 + у 2 = R2. (3)
Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.