11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.

Ось – это прямая, на которой указано направление и начало отчета.

Орт оси – единичный вектор , имеющий то же направление, что и ось

Углом между и (между и осью ) называется наименьший , на который надо повернуть один из векторов (ось) до совпадения по направлению с другим вектором.

Проекцией на ось называется длина отрезка А`B`, заключенная между ортогональными проекциями начала А и конца В вектора , взятая со знаком (+), если и с (-), если

Теорема (о проекции вектора на ось): проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между векторами и осью.

Следствие: Равные вектора имеют равные проекции на одну ось.

Направленный отрезок называется ортогональной проекцией на ось

Теорема (о проекции суммы векторов): проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций двух векторов на ту же ось.

Теорема (о проекции произведения скаляра на вектор): при умножении вектора на скаляр , его проекция на ось умножается на этот же скаляр ========================================== ========================================== ========================================== ==========================================

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l.

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2< x1 и проекция x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим . Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. .  Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

Доказательство. Пусть . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но .

Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

.

Доказательство. Пусть угол между вектором и осью .

Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .

При λ > 0 .

Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и .

Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

3. Проекция вектора на ось. Составляющие, угол между векторами, формулы вычисления проекций, свойства проекций.

Проекции вектора на ось

Проекцией вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком <плюс> в том случае, если направление вектора совпадает с направлением оси х, и со знаком <минус> в противном случае (если , то проекция будет нулевой)

Составляющие вектора

Составляющими данного вектора называются вектора, дающие в сумме данный вектор. Теорема

Каждый вектор можно разложить на составляющие, лежащие на этих прямых.

Пусть даны две прямые a и b, пересекающиеся в точке О, и вектор . Отложим вектор от точки О. Получим =. В общем случае вектор не лежит ни на одной прямой. Тогда проведем через точку V параллельные им прямые. Вместе с прямыми a и b они ограничат параллелограмм OAVB с диагональю OV. По правилу параллелограмма =. Векторы и и есть составляющие вектора , лежащие на прямых а и b (составляющие по прямым а и b).

Если вектор лежит на одной из прямых а или b, то его составляющая по одной прямой это он сам, а по другой - его составляющая равна нулевому вектору.

Особенно важный случай представляет разложение на составляющие по взаимно перпендикулярным прямым. Тогда параллелограмм с диагональю OV - это прямоугольник, а его стороны - проекции отрезка OV на прямые a и b.

Угол между ненулевыми векторами

Чтобы определить угол между векторами и их нужно отложить от одной точки О так, чтобы , , а затем найти величину угла между лучами ОА и ОВ. Её и называют углом между векторами.

Углом между двумя не нулевыми векторами называется величина задаваемого ими угла между лучами, когда они отложены от одной точки.

Если векторы сонаправлены, то угол между ними считается равным 0°. Если противоположно направлены, то угол считается равным 180°. Теорема

Угол между векторами не зависит от выбора точки откладывания векторов. Это необходимо доказать только для неколлинеарных векторов, т. к. для сонаправленных это вытекает из определения.

Пусть и неколлинеарны. Отложим их от точки О, тогда = , = и от точки О1 так, чтобы тогда = , = .

Пусть прямые ОА и ОВ пересекаются в некоторой точке О2. Обозначим буквой а тот угол с вершиной в точке О2, который будет соответственным с углом ÐАОВ. По свойствам параллельных прямых Ðа = ÐАОВ. Но тот же угол Ðа будет соответственным углу ÐА1О1В1. По тому же свойству Ðа = ÐА1О1В1 => ÐА1О1В1 = ÐАОВ.

Вычисление проекции вектора на ось

1.) Вычисление проекции с помощью координат.

По определению проекция vx вектора на ось х равна длине его составляющей по этой оси, взятая со знаком <плюс> или <минус>. Но длина ненулевого вектора - это длина отрезка А1В1, т. е. расстояние между точками А1 и В1. Это расстояние можно найти по формуле: А1В1=|x1-x2|.

Если ↑↑, то x1 > x2 и x1-x2 > 0. В этом случае |x1-x2| = x1-x2 и vx = || = x1-x2

Если же ↑↓, то x1 < x2 и x1-x2 < 0. В этом случае |x1-x2| = x2-x1 и vx = -|| = x2-x1

Если же =, то vx = 0, т. к. A1=B1, x1=x2 и снова vx=x1-x2

2.) Вычисление проекции с помощью угла между вектором и координатной осью называется угол между вектором этой оси. Теорема

Проекция ненулевого вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью (vx = ||*cos a)

Если угол не равен 0° или 90° или180°, то доказательство основывается на перемещении системы координат в начало вектора, а затем из конца вектора опускается перпендикуляр на ось ОХ. Проекция вычисляется как катет в прямоугольном треугольнике, а он равен произведению гипотенузы на косинус угла между ними.

Если угол 0°, то вектор лежит на оси и сонаправлен с нею => его проекция равна длине самого вектора. Так как cos 0° = 1, то выражение vx = ||*cos a верно

Если угол 90°, то вектор перпендикулярен оси => проекция будет нулевая. И т. к. cos90°=0, то равенство vx = ||*cos a снова выполняется.

Если же угол 180°, то вектор снова будет лежать на оси, но будет уже противонаправлен ей => проекция будет отрицательным числом, по модулю равной длине вектора.

Свойства проекции векторов на ось.

1.) Равные векторы имеют равные проекции на заданные оси.

По теореме о проекции вектора на ось, проекция зависит от угла, который она составляет с осью и от длины вектора. Так как равные векторы имеют равные направления и длины, то их проекции будут равны.

2.) При сложении векторов их проекции на оси складываются.

Сложим любые два вектора =и =. Получим вектор = + = + =. Пусть точки А1, В1, С1 - проекции точек А, В, С на ось OX, а xa, xb, xс - их координаты и aх, bх, cх - проекции векторов , , на ось OХ.

Т. к. aх = xb-xа, bх = xc-xb, то aх + bх = xb-xа+xс-xb = xс-xа

С другой стороны cх =xс-xа. Поэтому cх = ax-bx.

3.) При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

Пусть X - ось с начальной точкой О и единичным вектором . Возьмём любой вектор и отложим его от этой точки. Пусть угол Ða между векторами и . Умножив вектор на число k, получим вектор = k. Нужно доказать bх = k*aх. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла, т. к. bх = ||*cos Ða = k*(||*cos Ða) = k*ax.