37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
Определение 5.13.
Поверхность,
задаваемая в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат
уравнением 
a > 0, b > 0,
называется эллиптическим
параболоидом.
Свойства эллиптического параболоида.
Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
Эллиптический параболоид обладает
осевой симметрией относительно оси Oz,
плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox иOy – парабола.
Определение 5.14. 
Поверхность,
задаваемая в некоторой прямоугольной
декартовой системе координат
уравнением 
a > 0, b > 0,
называется гиперболическим
параболоидом.
|
|
|
Рисунок 5.7.3 |
Свойства гиперболического параболоида.
Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
Гиперболический параболоид обладает
осевой симметрией относительно оси Oz,
плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.
Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
уравнение (56) - прямой круговой цилиндр (рис. 19), уравнение (57) - эллиптический цилиндр (рис. 20), уравнение (58) - гиперболический цилиндр (рис. 21), уравнение (59) - параболический цилиндр (рис. 22).
Пусть направляющая конуса задана уравнениями:
а вершина S конуса имеет координаты x0, y0, z0.
Уравнения образующей запишем как уравнения прямой, проходящей через две точки S(x0, y0, z0) и M(x, y, z), принадлежащие направляющей (60):
где X ,Y, Z - текущие координаты точек образующих.
Исключая из уравнений (60) и (61) x, y, z, получим уравнение относительно переменных X, Y, Z, т.е. уравнение конической поверхности
.
38. Сферическая система координат.
Положение
точки М в
сферической системе координат задается
тройкой чисел r,
φ и θ, где r –
расстояние от начала координат до точки
M
(
);
φ – угол, образованный проекцией
радиус-вектора
на плоскость Оху с
положительным направлением оси Ох (
);
θ – угол между положительным
направлением оси Oz и
радиус-вектором точки М (
).
Рис.
1.
Сферические координаты точки M.
Связь между декартовыми и сферическими координатами описывается формулами
Связь между сферическими и цилиндрическими координатами описывается формулами
Поверхность, на которой одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной поверхностью. Линия, вдоль которой изменяется только одна координата, а остальные координаты остаются неизменны¬ми, называется координатной линией.
Рис.
2.
Координатные поверхности сферической
системы координат:
сфера (r =
const);
полуплоскость (φ = const);
конус
(θ = const).
В
сферической системе координатные линии,
проходящие через любую точку M
пространства, пересекаются под прямым
углом. Такие системы координат
называются ортогональными.
Единичный касательный вектор к
координатной линии в точке М,
направленный в сторону возрастания
координаты, называется ортом в
точке М.
Поскольку сферическая система координат
является ортогональной, то в любой точке
пространства векторы 
и
попарно
ортогональны.
Отметим, что каждая координатная линия
перпендикулярна соответствующей
координатной поверхности.
Некоторые
полезные формулы:
Элемент длины дуги:
Якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической:
Элемент объема:
