7.Дисперсія, властивості дисперсії. Знаходження дисперсії.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.

D(X)=M(X-M(X))²

Смысл: мера рассеяния случайной величины относительно своего среднего значения.

Свойства:

• Математическое ожидание отклонения = 0.

М(Х-М(Х))=0

• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(CX)=C²D(X)

Доказательство.

D(CX) = М(СХ-М(СХ))² = М(СХ-СМ(Х)² =

= М(С(Х-М(Х))² = М(С²(Х-М(Х))²) = С²М(Х-М(Х))² = С²D(X)

1. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

2. Дисперсия разности двух несовместных случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Доказательство.

D(X-Y)=D(X)+D(-Y)= D(X)+D((-1)Y)= D(X)+(-1)²D(Y)=D(X)+D(Y)

Расчетная формула дисперсии

D(X) = M(X-M(X))² = М(Х²-2Х*М(Х)+М²(Х)) =

=М(Х²)-М(2Х*М(Х))+М(М²(Х))=М(Х²)-2М(Х)*М*М(Х))+М²(Х) =D(X)=M(X²)-(M(X))²

Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата его математического ожидания.

Смысл: Дисперсия — мера рассеивания случайной величины относительно свого значения

8.Дисперсія дискретної випадкової величини. Вивід властивості дисперсії про дисперсії різниці.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.

D(X)=M(X-M(X))²

Смысл: мера рассеяния случайной величины относительно своего среднего значения.

Свойства:

• Математическое ожидание отклонения = 0.

М(Х-М(Х))=0

• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(CX)=C²D(X)

Доказательство.

D(CX) = М(СХ-М(СХ))² = М(СХ-СМ(Х)² =

= М(С(Х-М(Х))² = М(С²(Х-М(Х))²) = С²М(Х-М(Х))² = С²D(X)

3. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

4. Дисперсия разности двух несовместных случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Доказательство.

D(X-Y)=D(X)+D(-Y)= D(X)+D((-1)Y)= D(X)+(-1)²D(Y)=D(X)+D(Y)

Расчетная формула дисперсии

D(X) = M(X-M(X))² = М(Х²-2Х*М(Х)+М²(Х)) =

= М(Х²)-М(2Х*М(Х))+М(М²(Х)) = М(Х²)-2М(Х)*М*М(Х))+М²(Х) =

D(X)=M(X²)-(M(X))²

Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата его математического ожидания.

Смысл: Дисперсия — мера рассеивания случайной величины относительно свого значения

9.Числові характеристики дискретної випадкової величини. Виведеня розрахункової формули дисперсії.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности. М(Х)=∑ x_iр_i = x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

• Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.

• Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) =CM(X).

• Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(XY) =M(X)M(Y).

• Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y) =M(X)*M(Y).

• Смысл матем. ожидания: среднее значение случайной величины.

Дисперсией дискретной случ. величины наз. математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.

Смысл: Дисперсия-мера рассеивания случ. велич. относит. своего значения.

Свойства:

• Математическое ожидание отклонения = 0. М(Х-М(Х))=0

• D(CX)=C²D(X)

• D(X+Y)=D(X)+D(Y)

• D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Расчетная формула дисперсии

D(X) = M(X-M(X))² = М(Х²-2Х*М(Х)+М²(Х)) =

= М(Х²)-М(2Х*М(Х))+М(М²(Х)) = М(Х²)-2М(Х)*М*М(Х))+М²(Х) =

D(X)=M(X²)-(M(X))²

Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата его математического ожидания.

1. Среднее квадратное отклонение

2. Начальным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание случайной величины в степени к.

=М(Х^k) (ню)

3. Центральным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание отклонения порядка к.

Что бы закон распределения дискретной случайной величины возвести в степень k, необходимо его возможные значения возвести в эту степень, а её возможные значения оставить без изменения вероятности.