4.Ймовірність гіпотез. Повторення випробувань. Теорема Бернуллі.

Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂, …Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующию условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+ Р(В₂)*Р_В2(А)+…+ Р(В_n)*Р_Вn(А)

Формула Бейеса:

Позволяет находить вероятность выбранной гипотезы , при условии, что основное событие А уже наступило.

Формула Бернулли:

Применяется в том случае, если производится испытание, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то вероятность такого события можно вичислить по формуле Бернулли (события с малой вероятностью появления при большом числе испытаний)

, где q=1-p

5. Дискретні випадкові величини. Розуміння про закон та функції розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.

Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения может быть задан графически, аналитически и таблично.

Х x₁ x₂ x_n … х_n - возможные значения

Р р₁ p₂ p_n ... р_n - вероятности

Возможные значения образуют полную группу событий, а по теореме 2 (сложения) вероятность суммы событий, образующих полную группу равна 1.

То есть р₁ + p₂ + ... + р_n = 1

Например, есть 100 лотерейных билетов, среди которых один билет достоинством 50 грн, 10 билетов – 1 грн, все остальные невыигрышные. Составить закон распределения выигрыша при наличии одного билета.

Х 50 1 0

Р 0,01 0,1 0,89

Для дискретной случайной величины ф-я распределения является ступенчатой функцией.

6.Числові характеристики дискретних випадкових величин. Математичне сподівання, властивості математичного сподівання.

1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности.

М(Х)=∑ x_iр_i = x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

• Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.

• Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) =CM(X).

• Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(XY) =M(X)M(Y).

• Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y) =M(X)*M(Y).

• Смысл математического ожидания: среднее значение случайной величины.

2. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения.

Смысл: Дисперсия — мера рассеивания случайной величины относительно свого значения

3. Среднее квадратное отклонение

4. Начальным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание случайной величины в степени к.

=М(Х^k) (ню)

5. Центральным моментом порядка к дискретной случайной величины называется математическое ожидание отклонения порядка к.

Что бы закон распределения дискретной случайной величины возвести в степень k, необходимо его возможные значения возвести в эту степень, а её возможные значения оставить без изменения вероятности.