1. Елементи комбінаторики. Основні формули комбінаторики. Біном н’ютона.

1. Перестановка

2. Размещение

3. Комбинация (Сочетание)

4. 

Свойства Бинома:

• В разложении n-ой степени бинома содержится n+1 слагаемых.

• В разложении бинома есть однородный многочлен относительно а и b, то есть все слагаемые разложения имеют одну и ту же степень n относительно a и b, при этом показатели a последовательно убывают от n до 0, а показатели b последовательно возрастают от 0 до n.

• Общий член:

• Биномиальные коэффициенты равностоящие от концов разложения равны между собой.

• Если показатель степени бинома четный, то биномиальный коэффициент среднего слагаемого разложения наибольший. Если показатель нечетный, то в разложении иметься два средних слагаемых с одинаковыми коэффициентами.

• Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2ⁿ где n показатель степени бинома.

• Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных позициях равна суме коэффициентов, стоящих на нечетных позициях.

2.Визначення ймовірності (класичне, статичне). Види подій. Дії з випадковими подіями.

Виды событий.

• Предметом теории вероятности является изучение вероятностных закономерностей массовых, однородных, случайных событий.

• Достоверным называется событие, которое в результате испытания обязательно произойдет.

• Невозможным называется событие, которое в результате испытания никогда не произойдет.

• Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

• События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

• Равновозможными называют события, при которых есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

• События образуют полную группу событий в том случае, если в результате испытания одно из них обязательно произойдет.

• Противоположными называются два единственно возможных события образующих полную группу.

Действия над событиями.

• Сложение. Два события А и В образуют сумму событий, если в результате испытания может наступить либо одно, либо другое событие А или В. С=А+В; С=АВ;

• Умножение. Два события А и В образуют произведение событий, если в результате испытания наступят оба события А и В. С=А*В; С=АВ;

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов, образующих посную группу.

P-вероятность

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна 1

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятностьслучайного события – положительное число, заключенное между 0 и 1 0≤P(A)≤1

3. Теореми множення, додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності подій. Ймовірність гіпотез (формула Бейєса).

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятности этих событий.

Доказательство.

Введем обозначение, пусть:

n- общее число исходов;

m₁ — число исходов благоприятствующих событию А;

m₂ — число исходов благоприятствующих событию В;

Тогда по определению действия над событиями, число исходов благоприятствующим появлению либо события А, либо событию В равно

m₁₊m_2.

По классическому определению вероятности, вероятность события(А+В) будет равна числу благоприятствующих исходов к числу общих исходов.

Следствие:

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично каких, равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующую полную группу равна 1.

Доказательство.

Так как по определению событий образующих полную группу, появление одно их них обязательно произойдет, а это значит что оно достоверно, а вероятность достоверного события равна 1.

- попарно несовместимы, по этому к ним нужно применить теорему 1.(сложения)

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Доказательство.

Согласно определению противоположных событий, образующих полную группу,

а по теореме 2(сложения) сумма их вероятностей равна 1.

. Теоремы Умножения вероятностей

События называют независимыми если наступление одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Теорема 1

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(A*B)=P(A)*P(B)

Теорема 2

Вероятность совместного появления двух зависимых, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Условной вероятностью события А называется вероятность события В, вычисленная при предположении, что событие A наступило.

Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей без вероятности их совместного появления.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A-B)

А) не зависимые события

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P(B)

В) зависимые

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)*P_A(B)

Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂, …Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующию условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+ Р(В₂)*Р_В2(А)+…+ Р(В_n)*Р_Вn(А)

Формула Бейеса:

Позволяет находить вероятность выбранной гипотезы , при условии, что основное событие А уже наступило.