12.9.4. Интегральная формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля.

в Ω.

S –замкнутая кусочно-гладкая поверхность в Ω, ограничивающая область V  Ω.

(поверхностный интеграл – по внешней стороне поверхности S).

Определение. Скалярная функция точки

называется дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Формула Г.-О. в векторной форме:\

(поток векторного поля через замкнутую поверхность S в сторону внешней нормали равен интегралу от дивергенции по внутренней для S области).

Физический смысл дивергенции.

M₀ Ω.

Окружим M₀ малой поверхностью S Ω, внутренняя малая область V  Ω.

По формуле Г.-О., а затем по теореме о среднем для тройного интеграла:

_.

М₁V, v(V) – объем области V.Стягиваем S к точке M₀.  M₁  M₀,  – диаметр S.

Дивергенция поля в точке численно равна потоку в сторону внешней нормали через бесконечно малую поверхность, окружающую эту точку, отнесенному к единице объема.

> 0 – в т. M₀ источник поля,

< 0 – сток.

12.9.6. Интегральная формула Стокса. Ротор векторного поля.

в Ω, L – замкнутый контур в Ω, ограничивающий двустороннюю поверхность S. Все точки поверхности S принадлежат Ω.

Формула Стокса:

(на выбранной стороне поверхности S при обходе контура L точки поверхности находятся слева).

Определение. Векторная функция точки

называется ротором (или вихрем) векторного поля Формула Стокса в векторной форме:.

(циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора через любую кусочно-гладкую поверхность, натянутую на контур, в сторону, с которой обход контура оставляет поверхность слева).

Физический смысл ротора.

M₀ Ω,

–вектор, задающий произвольное направление.

Проведем через M₀ малую поверхность S  С границей L, S Ω и L  Ω .

По формуле Стокса, а затем –по теореме о среднем для поверхностного интеграла I рода:

М₁S, s(S) – площадь.

Стягиваем S к точке M₀.  M₁  M₀,  – диаметр поверхности S.

(проекция ротора поля в точке на произвольное направление численно равна циркуляции поля вдоль контура бесконечно малой площадки, проведенной через эту точку перпендикулярно рассматриваемому направлению, отнесенной к единице площади).Проекция максимальна, если направление совпадает с направлением ротора поля в данной точке, т.е. ротор направлен в сторону, где поле имеет наибольшую завихренность

(с наибольшей силой стремится вращать попавшее туда тело).

Замечание.формальное перемножениеи т.д. означает дифференцирование.

19. Потенциальные поля. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования. Признак потенциальности поля. (12.9.7, теоремы 1, 2, 3)

12.9.7. Потенциальные поля. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования.

Определение. Поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой числовой функции u(x, y, z), т. е. если  u(x, y, z) такая, что

u(x, y, z) называется потенциалом векторного поля (первообразная для grad u).

потенциал в случае его существования определяется полем с точностью до постоянного слагаемого.

Определение. Линейный интегралне зависит от пути в Ω, если  A и B  Ω он имеет одно и то же значение независимо от линии интегрирования, соединяющей точки от A к B.

Теорема 1. Линейный интеграл векторного поля не зависит от пути в области Ω  поле потенциально.

Доказательство. 1. Пусть интеграл не зависит от пути.

Выберем А(x₀, y₀, z₀)Ω и рассмотрим функцию однозначно определенную в Ω.

Это и есть потенциал поля Проверим, что

_{Это интеграл по отрезку оси Ox, применим теорему о среднем:}

_{с находится на оси Ox между x и x+x.}

_{Координаты вектора поля непрерывны }

2. Обратно, пусть поле потенциально:  u(x, y, z),

Фиксируем точки A и B в Ω и пусть L – любая соединяющая их кривая.

(под интегралом – дифференциал сложной функции)

_{По формуле Ньютона-Лейбница:}

Вывод: результат интегрирования зависит только от точек А, В и не зависит от уравнений кривой L.

Линейный интеграл в потенциальном поле равен разности значений потенциала поля в конечной и начальной точках пути интегрирования.

Теорема 2. Независимость линейного интеграла от пути в области Ω эквивалентна равенству нулю циркуляции поля по любому замкнутому контуру в Ω.

Доказательство. 1. Пусть линейный интеграл не зависит от пути в Ω. L –замкнутый контур.

Разобьем его двумя точками на части L₁ и L₂.

2. Пусть циркуляции поля по любому замкнутому контуру в Ω равна 0.

Рассмотрим произвольные точки A и B в Ω. Соединим их кривыми L₁ и L₂.

Теорема 3. Признак потенциальности поля (признак независимости линейного интеграла от пути) в односвязной области.

Поле в односвязной области Ω потенциально  всюду в Ω (*) (узнали признак полного дифференциала!)

Доказательство. 1. Пусть поле потенциально, т.е.

Равенства (*) выполнены, т.к. это равенства смешанных частных производных: и т. д. (было уже).

2. Пусть в Ω выполнены условия (*) 

 интегралы по замкнутым контурам равны 0: по формуле Стокса

 линейный интеграл не зависит от пути в Ω и поле потенциально.

Замечание. Как найти потенциал ? (**)

Или методом нахождения первообразной, рассмотренным в п. 12.1.3, основанным на частном интегрировании.

20. Нахождение первообразной по известному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла II рода. (12.11)