1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. (13.1.1, 13.1.2)

13.1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Одно и то же д. у. может описывать различные физические процессы.

13.1.1. Задача о радиоактивном распаде и задача о теплообмене.

Пусть m(t) – масса радиоактивного вещества в момент t.

Известно, что скорость распада пропорциональна массе:(д. у. I порядка).

Пусть T(t) – температура остывающего тела в среде с T =T₀ = const.

Известно, что скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и среды:

Обе задачи привели к уравнению вида

13.1.2. Уравнение колебаний.

Свободные колебания заряда q(t)

в отсутствии сопротивления

описываются уравнением.

Свободные колебания маятника массы m

при жесткости пружины k в отсутствии

сопротивления описываются уравнением.

Обе задачи привели к уравнению вида

_{Аналогично в присутствии сопротивления:}

..

Обе задачи привели к уравнению вида

2. Дифференциальные уравнения I порядка. Различные формы записи. Задача Коши Теорема о существовании и единственности решения Общее и частное решения, общий и частный интегралы уравнения. (13.2.1, 13.2.4, 13.2.5 - теорема 2, 13.2.6)

13.2. Д. у. I порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши.

13.2.1. Различные формы записи д. у. I порядка:

– общий вид:,

– нормальная форма: ,

– запись в дифференциалах: .

перевод из нормальной формы в запись в дифференциалах и наоборот.Иногда удобнее т.е. решать уравнение относительно неизвестной функции

x = x(y).

13.2.4. Общее и частное решения, общий и частный интегралы уравнения. Особые решения.

Замечание 1. Решение y(x) может оказаться найденным неявно: или x = x(y)

(недифференциальное уравнение с теми же решениями).Во всех этих случаях будем считать задачу решенной.

Если решение содержит «невзятые» интегралы, будем говорить, что уравнение «решено в квадратурах».

Замечание 2. Далеко не все д. у. 1-го порядка решаются, даже в квадратурах. Например уравнение Рикатти . В подобных случаях нужно искать приближённые решения.

Определение. 1. Если в области D пл. (x, y) через каждую ее точку проходит единственная интегральная кривая y = y(x), то каждое из таких решений y(x) называется частным решением уравнения в области D. Графики частных решений не пересекаются.

2. Если получена формула y = φ(x, C) (*)такая, что

а) С из некоторого E  R функция y = φ(x, C) есть частное решение в D,

б) наоборот, каждое частное решение в D может быть получено по этой формуле выбором единственного надлежащего С,

то формула (*) называется общим решением д. у. в D.

Определение. Частные решения называют также частными интегралами, а общее решение – общим интегралом д. у. Но чаще термины частный интеграл и общий интеграл применяются в случаях, когда частное и общее решения определяются неявно:

и ,с теми же решениями, что и исходное д. у.

Замечание 3. По границе области D, для которой получено общее решение, также может проходить интегральная кривая, причем как со свойством единственности в каждой точке (такое решение будем также называть частным), так и с нарушением единственности в каждой точке (такое решение будем называть особым).

13.2.5. Теорема о существовании и единственности решения д. У. .

Теорема. Если в области D плоскости (x, y) функции

непрерывны, то через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая уравнения

Другими словами, при выполнении условий теоремы для любой точки (x₀, y₀)D существует единственное решение y(x) на некотором интервале оси Ox, содержащем точку x₀, такое, что y(x₀) = y₀.

13.2.6. Задача Коши для д. у. I порядка.

пределение. Задачей Коши для д. у. I порядка в области D называют задачу нахождения решения y(x), удовлетворяющего начальному условию y(x₀) = y₀.

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через т. M₀(x₀, y₀)D.

Теорема дает условия -я и единственности решения задачи Коши

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. (13.3.1, 13.3.2)

13.3. Некоторые типы д. у. I порядка и методы их решения.

13.3.1. Д. у. с разделяющимися переменными.

или

Метод решения. Разделение переменных: При непрерывныхf(x) и g(y) это равенство дифференциалов (тождественное равенство при подстановке решения y = y(x)).

 находим первообразные, интегрируя левую часть по x, а правую – по y (инвариантность интегральных формул):

Это общий интеграл д. у., так как это уравнение имеют то же множество решений, что и исходное д.у.

Если решается задачи Коши:

а) подставить в общий интеграл x₀, y₀, найти С₀ и

записать частный интеграл_или б) после разделения переменных использовать в качестве первообразных определенные интегралы с переменными верхними пределами

13.3.2. Однородные дифференциальные уравнения если f(x, y)= f(x, y) (1)

или если mR (2)

, .

Оба этих случая можно объединить в один: уравнение однородное, если оно не меняется при подстановке x вместо x и y вместо y (в производные и дифференциалы не подставляем!)

Замечание. В процессе преобразования уравнений нужно следить, не потерялись ли решения и не появились ли лишние.