6. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений I порядка: метод разностных уравнений. (13.4)

2. Метод конечных разностей.

[x₀, x₀ + H], x₀ < x₁ < x₂ <…< x_n = x₀ +H (узлы), y₀, y₁, y₂, …, y_n.

Заменим д. у. системой разностных уравнений (по одному  узла x₀, x₁, x₂,…, x_n-1), k = 1, …, n–1.

Получим систему n – разностных уравнений

7. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши. Общее и частное решения, общий и частный интегралы уравнения. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения II порядка. (13.5.1, 13.5.2, 13.5.3)

13.5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения.

Задача Коши.

13.5.1. Теорема о существовании и единственности решения д. у. (1)

Теорема. Если непрерывны в области   Rⁿ⁺¹, то  т.  единственное решение y(x) уравнения на некотором интервале оси Ox, содержащем x₀, такое, что (2)

13.5.2. Задача Коши для д. у. n-го порядка. Общее и частное решения, общий и частный интегралы. Особые решения.

Определение. Задача Коши: найти решение д.у.(1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

В условиях теоремы о  и единств. решения задача Коши  точки имеет единственное решение (задача Коши поставлена корректно).

Определение. Если в области   Rⁿ⁺¹  т. задача Коши имеет единственное решение, то каждое из решений y(x) называется частным решением уравнения в .

Если получена формула y = φ(x, C₁, C₂, …, C_n ) (3)

такая, что

а)  C₁, C₂, …, C_n из некоторого E  Rⁿ функция

y = φ(x, C₁, C₂, …, C_n) есть частное решение в 

б) каждое частное решение в  может быть получено по этой формуле выбором единственных C₁, C₂, …, C_n,

то формула (3) называется общим решением д.у. в .

Определение. Уравнения

определяющие частное и общее решения в неявном виде (т.е. имеющие те же решения, что и д. у.),

называют частным интегралом и общим интегралом д.у.

Определение. Решение д.у. называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.

13.5.3. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения II порядка.

Задача Коши:

Заданы: т. M₀(x₀, y₀) и наклон касательной ().

Если в   R³ выполнены условия теоремы -я и единств. решения, то  т. M₀(x₀, y₀)  D (проекции  на пл. (x, y))  единственная интегральная кривая с заданным наклоном касательной в точке M₀

8. Уравнения вида Уравнения вида(13.6.2,13.6.3)

13.6.2. Уравнения вида (не содержат искомую функцию и (возможно) несколько ее младших производных).

Метод понижения порядка: замена неизвестной функции

(д.у. (n – k)-го порядка)

Если удастся получить общее решение то затем решается уравнениеk-кратным интегрированием.

13.6.3. Уравнения вида(не содержат явно независимую переменнуюx)

Метод понижения порядка: замена независимой переменной и неизвестной функции:



и т. д. 

Если удается получить общее решение то затем решается уравнениес разделяющимися переменными:

Замечание. Принимая y за независимую переменную, мы могли потерять решения вида y = const.

9. Линейные дифференциальные уравнения. Корректность постановки задачи Коши. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения L_n [y] = f. Принцип суперпозиции (13.7.1, 13.7.2)