17. Простейшая краевая задача для линейного дифференциального уравнения II порядка. Ее приближенное решение (13.7.10)

13.7.10. Простейшая краевая задача для дифференциального уравнения II порядка. Точное и приближенное решение.

_{y1 и y2 линейно независимы, С1, С2 – произвольные постоянные.}

_{Начальные условия задачи Коши: y(x0) = y0, y(x0) = y0.}

_{Если решение ищется на отрезке [a, b], то можно задатькраевые или граничные условия:}

_{ya и yb R.}

Пример.

_{Метод вариации:}

_{Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений применим метод Крамера.}

_

_{Составим систему для определения постоянных С1, С2 из краевых условий:}

_{Краевая задача имеет единственное решение, если:}

_{В общем случае краевую задачу}

_{можно решать приближенно, переходя к системе разностных уравнений.}

Разобьем отрезок [a, b]: a = x₀< x₁< x₂<…< x_n = b(узлы).

Расстояние между соседними узлами

Решение в узлах: y₀, y₁, y₂,…, y_n (y₀, y_n известны).

Д. у.

_{заменим системой разностных уравнений}

( из формулы Тейлора:

₎ вместо д.у. система разностных уравнений

n–1 уравнение с n–1 неизвестными y₁, y₂,…, y_n–1, первое и последнее уравнения содержат по две неизвестных (знаем y₀ = y_a и y_n = y_b ). Основная матрица системы имеет «трехдиагональный» вид (остальные элементы равны нулю):Методом Гаусса ее можно привести к двухдиагональному виду

после чего неизвестные находятся, начиная с y_n–1 и заканчивая y₁.

Приведенный метод численного решения систем с трехдиагональной матрицей носит название «метод двойной прогонки».

18. Нормальная форма системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. (14.1)

14. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

x – независимая переменная, y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) – неизвестные (искомые) функции.

14.1. Нормальная форма системы обыкновенных д. У. Задача Коши.

–заданные непрерывные функции от n+1 переменных в некоторой области Rⁿ⁺¹. n – порядок системы.

Решение системы: n функцийобращающих все уравнения в тождества (на интервале осиOx).Задача Коши: система плюс начальные условия

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если непрерывны в области   Rⁿ⁺¹, то



найдется интервал на оси Ox, содержащий точку x₀, в котором  единственное решение задачи Коши.

Определение. Если в области   Rⁿ⁺¹ выполнены условия теоремы о -нии и единств. решения задачи Коши, то каждое из решений при называется частным решением уравнения в области .

Общее решение: формула

такая, что

-  C₁, C₂, …, C_n из некоторого E  Rⁿ она дает частные решения в ,

- каждое частное решение в  может быть получено по этой формуле выбором единственных надлежащих C₁, C₂, …, C_n.

19. Связь систем дифференциальных уравнений с дифференциальными уравнениями высших порядков. (14.2)

14.2. Связь систем дифференциальных уравнений с дифференциальными уравнениями высших порядков.

Теорема. Любое д. у. n-го порядка в нормальной форме (т.е. разрешенное относительно старшей производной), может быть преобразовано в систему д. у. n-го порядка

в нормальной форме.

Доказательство.

Введем n функций: y₁(x) = y(x), y₂(x) = y(x), …,

y_n(x) = y^(n–1)(x). 

Обратно, часто удается решение системы д. у. n-го порядка в нормальной форме свести к решению одного дифференциального уравнения n-го порядка.

Выберем функцию y₁(x). Для нее будем получать д.у. порядка n.

Дифференцируем первое уравнение n –1 раз, заменяя на каждом шаге появляющиеся производные y₂(x), …, y_n(x) правыми частями уравнений системы.

Получим новую систему:

Если удастся выразить из первых n –1 уравнений y₂, …, y_n через y₁, y₁, …, y₁^(n–1) (решая систему n –1 алгебраических уравнений с n –1 неизвестными), то подставим их в последнее уравнение и получим уравнение n-го порядка относительно y₁(x).