4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения Бернулли. (13.3.3, 13.3.4, 13.3.5)

13.3.3. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, если M(x, y) и N(x, y) имеют непрерывные частные производные и

Левая часть такого д.у. является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) :

M(x, y)dx + N(x, y)dy = dU(x, y).

Метод решения. Достаточно найти функцию U(x, y)

по ее известному дифференциалу.

Исходное д. у.: dU(x, y) = 0.

Общий интеграл: U(x, y) = С, CR

(эти два уравнения превращаются в тождество при одних и тех же зависимостях y(x)).

Замечание. Любое д. у. вида M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

с непрерывно дифференцируемыми M(x, y), N(x, y) можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на так называемый интегрирующий множитель .

Другими словами, уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

где

после умножения на специально подобранный интегрирующий множитель превращается в уравнение в полных дифференциалах:

Общих методов нахождения не существует.

13.3.4. Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

Определение. Линейное д. у. называется линейным однородным, если f(x)  0, и линейным неоднородным, если  x f(x)  0.

Замечание. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (но в общем случае не является однородным д.у.):

Исследуем линейное д.у. (приведем к виду ):

Если p(x) и f(x) непрерывны в т. x₀, то решение задачи Коши с начальным условием y(x₀) = y₀  и единственно, на значения y₀ нет ограничений.

 Общее решение может строиться в полосах на плоскости (x, y), ограниченных прямыми x = const, где x – точка разрыва p(x) или f(x). Особые решения не возможны.

Методы решения линейного неоднородного д. у.

1. Метод Бернулли. Решение можно свести к решению двух уравнений с разделяющимися переменными заменой неизвестной функции на произведение двух неизвестных функций

y(x) = u(x)v(x),одна из которых подбирается с целью упростить уравнение.

Подставим в .

Подберем функцию v(x) так, чтобы ,

u вынесем за скобки. Учитывая, что u(x) не может тождественно равняться нулю (иначе y(x)  0, а такого решения нет), получим

_{Для первого достаточно одного решения v(x), так как цель – упростить; для второго нужны все решения:}

_{u(x, С).} y = u(x, С)v(x).

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала решается уравнение

Очевидно, уравнение имеет решение y = 0.

В силу единственности, все другие решения либо положительны во всех точках, либо отрицательны.

_

Решение уравнения ищется в виде,

Подставим:

13.3.5. Дифференциальные уравнения Бернулли.

Если p(x) и f(x) непрерывны в т. x₀, то решение задачи Коши с начальным условием y(x₀) = y₀  и единственно при любом y₀, если  > 0, и при y₀  0, если  < 0.

Методы решения.

1. Сведение к линейному уравнению. Деление на y^ и замена функции:

2. Метод Бернулли: y(x) = u(x)v(x)

 . y = u(x, С)v(x).

5. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения I порядка в нормальной форме. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений I порядка: метод ломаных Эйлера. (13.2.3, 13.4)

13.2.3. Геометрическая интерпретация д. у.

D– область определения функции f(x, y).

Уравнение задает поле направлений касательных к интегральным кривым.

Пример.

_{Наклон касательных одинаков в точках окружностей с центром}

_{в начале координат и он тем больше, чем больше радиус окружности.}

13.4. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений I порядка.

Задача Коши:в областиD, где функции непрерывны.

Приближенное решение будем искать на отрезке [x₀, x₀ + H], H > 0.

1. Метод ломаных Эйлера.

Разобьем [x₀, x₀ + H] на n равных частей: x₀ < x₁ < x₂ <…< x_n = x₀ +H (узлы),

Значения y(x) в узлах: y₀, y₁, y₂, …, y_n.

Проведем через (x₀, y₀) прямую с угловым коэффициентом k₀ = f(x₀, y₀):

Будем считать ее отрезок приближением решения д. у. при x  [x₀, x₁]. Вычислим

Проведем через (x₁, y₁) прямую с угловым коэффициентом k₁ = f(x₁, y₁):

Вычислим

И т.д. 

Получим ломаную, приближенное решение д. у. при

x [x₀, x₀ + H].

При n (при этом h  0) построенное таким образом приближенное решение сходится к точному решению уравнения.

Замечание. Отрезок [x₀, x₀ + H] должен выбираться так, чтобы решение в его точках не вышло за границу области D. Если|f(x, y)|< M, то решение задачи Коши не выйдет за пределы треугольника, стороны которого – лучи, выходящие из (x₀, y₀) под углами  arctg M, и прямая x = x₀ +H.