13.7. Линейные дифференциальные уравнения.

p_i(x) – коэффициенты уравнения, f(x) –правая часть.

При f(x)  0 – д. у. линейное однородное, иначе – линейное неоднородное.

Кратко: L_n [y] = f,

– дифференциальный оператор n-го порядка.

Теорема. L_n – линейный оператор.

Доказательство. Так как производная суммы равна сумме производных,

_{Так как константу можно вынести за знак производной,}

13.7.1. Условия существования и единственности решения.

Достаточно непрерывности p_i(x) и f(x).

Задачу Коши с условиями

можно ставить в любой точке x₀, в которой p_i (x) и f(x) непрерывны, с любыми y₀, y₀, …, y₀^(n-1).

 единственное решение.

10. Критерий линейной независимости решений уравнения L_n [y] = 0. (13.7.3, теорема 2)

Теорема 2. Поставим k задач Коши для уравнения L_n [y] = 0 в точке x₀. Их решения y₁, y₂, … , y_k линейно зависимы  линейно зависимы столбцы начальных условий задач Коши.

Доказательство.

1. Пусть y₁, y₂, y_k линейно зависимы.  линейная комбинация, тождественно равная нулю:

₁y₁ + ₂y₂ + … + _ky_k  0,где хотя бы одно из чисел ₁, ₂, …, _k  0.

Дифференцируя (n –1) раз, получим систему

_{Т. е.}

 Столбцы начальных условий линейно зависимы ( точки x₀).

\2. Пусть линейно зависимы столбцы начальных условий задач Коши для y₁, y₂, y_k:

не все ₁, ₂, …, _k нулевые.

Составим функцию y = ₁y₁ + ₂y₂ + … + _ky_k, это – решение. Для него условия задачи Коши в т. x₀: .

Такие же условия для решения y  0.Из единственности: ₁y₁ + ₂y₂ + … + _ky_k  0,

т.е. y₁, y₂, y_k линейно зависимы.

11. Структура общего решения линейного однородного уравнения L_n [y] = 0. (13.7.3, теоремы 1, 3)

13.7.3. Структура общего решения уравнения L_n [y] = 0.

Теорема 1. Множество решений уравнения L_n [y] = 0 является линейным пространством.

Доказательство. Пусть y₁ и y₂ – решения и R.

L_n [y₁+ y₂] = L_n [y₁] + L_n [y₂] = 0 + 0 = 0;

L_n [y₁] = L_n [y₁] = 0 = 0.

Следствие.  решений y₁ и y₂ их любая линейная комбинация ₁y₁ + ₂y₂ – также решение. Решений бесконечно много, среди них y  0.

Теорема 3 (о структуре общего решения уравнения L_n[y] =0). Пространство решений уравнения L_n [y] =0 имеет размерность n, т.е. y_oo = С₁y₁ + С₂y₂ + … + С_ny_n,

где y_oo – общее решение, y₁, y₂, y_n – линейно независимые частные решения, базис пространства решений (фундаментальная система решений).

Доказательство. Выберем любые n линейно независимых столбцов, поставим в т. x₀ n задач Коши, их решения y₁, y₂, … , y_n линейно независимы.

Рассмотрим другое решение y_n+1.

Для него столбец начальных условий будет линейной комбинацией ранее выбранных n столбцов (длины n).

По теореме 2 y₁, y₂, y_n, y_n+1 линейно зависимы: y_n+1 = С₁y₁ + С₂y₂ + … + С_ny_n.

12. Определитель Вронского. (13.7.4)

13.7.4. Определитель Вронского.

Определителем Вронского, или вронскианом для системы функций y₁, y₂, … , y_n называется функциональный определитель n-го порядка

Свойства вронскиана.

1. Если функции y1, y2, … , yn линейно зависимы, то

W_n(x)  0. Следует из теоремы 2.

Обратное не верно.

2. Если функции y₁, y₂, … , y_n – линейно независимые решения д. у. L_n[y] = 0 на интервале, где непрерывны коэффициенты, то W_n(x) не обращается в 0 ни в одной точке этого интервала.

Следует из теоремы 2.

 На интервале, где непрерывны коэффициенты уравнения L_n[y] = 0 для n его решений

- либо W_n(x)  0 (линейно зависимые решения),

- либо W_n(x)  0 во всех точках (линейно независимые решения).

13.7.2. Структура общего решения уравнения L_n [y] = f.

y_oo – общее решение д. у. L_n [y] = 0.

y_oн – общее решение д. у. L_n [y] = f ,

y_чн – частное решение д. у. L_n [y] = f.

Теорема. y_oн = y_oo + y_чн.

Доказательство. Пусть y_чн : L_n [y_чн] = f.

а) пусть y^* : L_n [y^*] = 0. Рассмотрим y₁ = y^* + y_чн,

L_n [y₁] = L_n [y^* + y_чн] = L_n [y^*] + L_n [y_чн] = 0 + f = f;

б) пусть y₁ : L_n [y₁] = f. Представим его видеy₁ = (y₁ – y_чн) + y_чн

и покажем, что функция (y₁ – y_чн) y_oo: L_n [y₁ – y_чн] = L_n [y₁] – L_n [y_чн] = f – f = 0.

Замечание. Принцип суперпозиции.

Если f(x) = f₁(x) + f₂(x), то частное решение д. у.

L_n [y] = f можно искать в виде y_чн = y_чн,1 + y_чн,2 ,где L_n [y_чн,1] = f₁, L_n [y_чн,2] = f₂.

13. Понижение порядка уравнения L_n [y] = 0 в случае известного частного решения. Формула Остроградского-Лиувилля .(13.7.5)

13.7.5. Понижение порядка уравнения L_n[y] = 0 в случае известного частного решения. Формула Остроградского-Лиувилля.

Общих методов решения д.у. L_n[y] = 0 не существует.Если известно ненулевое частное решение y₁ д. у. L_n[y] = 0, то замена y(x) = y₁(x) z(x)позволяет понизить порядок уравнения на единицу.

n = 2. y+ p₁(x)y+p₂(x)y = 0,y₁ – решение.

Подставим y(x) = y₁(x) z(x) в уравнение:(y₁z)+ p₁(x) (y₁z)+p₂(x) (y₁z) = 0.

(y₁z+2 y₁z+ z y₁) + p₁(x) (y₁z + y₁z) +p₂(x) (y₁z) = 0.

z(y₁+ p₁(x) y₁+ p₂(x) y₁) + 2 y₁z+ z y₁ + p₁(x) y₁z = 0. 2 y₁z+ z y₁ + p₁(x) y₁z = 0 (допускает понижение порядка.) z=t(x)  t y₁ + (2 y₁+p₁ y₁)t = 0– д.у.I порядка с разделяющимися переменными.

Возьмем

Это формула Остроградского-Лиувилля

(y_1, y₂ линейно независимы).