14. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (13.7.6)

13.7.6. Метод Лагранжа нахождения решения д.у. L_n[y] = f в случае известного решения д.у. L_n[y] = 0 (метод вариации произвольных постоянных).

Теорема. Если y_oo = С₁y₁ + С₂y₂ + … + С_ny_n,

то y_чн может быть найдено в виде y_чн= С₁(x) y₁ + С₂(x) y₂ + … + С_n(x) y_n, (*)

где С₁(x), С₂(x), …, С_n(x) – непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению.

n = 2: y_oo = С₁y₁ + С₂y₂ y_чн = С₁(x) y₁ + С₂(x) y₂ (*)

Доказательство (n = 2). Подставим (*) в уравнение L₂[y] = f , т.е. y+ p₁(x) y + p₂(x) y = 0,

принимая меры для того, чтобы С₁(x), С₂(x), …, С_n(x) входили в него с производными не выше 1-го порядка: y = С₁ y₁ + С₁ y₁ + С₂ y₂ + С₂ y₂ = = С₁ y₁ + С₂ y₂ (если положить С₁ y₁ + С₂ y₂ = 0),

y = С₁ y₁ + С₁ y₁ + С₂ y₂ + С₂ y₂ L₂[y] = С₁ y₁+ С₂ y₂ + С₁ (y₁+ p₁(x) y₁ +p₂ (x) y₁) +

+ С₂ (y₂ + p₁(x) y₂+ p₂ (x) y₂ ) = f(x).Но L₂ [y₁] = 0, L₂ [y₂] = 0  L₂ [y] = С₁ y₁ + С₂ y₂ = f(x).

 система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными С₁, С₂:

Основной определитель– вронскиан W₂(x)  0, т.к. y₁, y₂ линейно независимы.

Система имеет единственное решение С₁(x), С₂(x)

При любом n:

Система имеет единственное решение С₁(x), С₂(x), …, С_n(x).

Интегрируем и подставляем в (*). Ищем частное решение  первообразные берем по одной.

Замечание. Если брать все первообразные, то при подстановке в (*) получим не частное, а общее решение уравнения L_n[y] = f.

15. Нахождение общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. (13.7.7)

13.7.7. Нахождение общего решения д.у. L_n [y] = 0

с постоянными коэффициентами. ₍₁₎

y_oo = С₁y₁ + С₂y₂ + … + С_ny_n

n = 1.



nN.

Попробуем искать решение в виде y = e^x.

Теорема. y = e^x является решением д. у. (1)   является корнем уравнения (характеристического уравнения для (1)).– характеристический многочлен.

Доказательство. y = e^x 

L_n [e^x] = 0  M_n () = 0.

Следствие. L_n [e^x] = e^x M_n ().

Итак, нужно научиться находить n линейно независимых решений y₁, y₂, …, y_n уравнения (1).3 случая корней

1. Все корни M_n () различны и действительны

_{(линейно независимые)}

2. Все корни M_n () различны, но среди них есть комплексные.

Комплексные решениянас устроить не могут.

Теорема. y_компл = u + iv – решение д. у. L_n [y] = 0  u и v – его решения.

Доказательство. Следует из равенстваL_n [y_компл] = L_n [u] + iL_n [v],

т.к. для z = x + iy верно:z = 0  x = 0  y = 0.

(линейно независимы).

3. Имеются кратные корни Mn ().

Теорема.

а) Если ₁ R – k-кратный корень, то k функций – линейно независимые решения д. у. (1).

б) Если С – k-кратные корни, то 2k функций

– линейно независимые решения д. у. (1).

16. Метод неопределенных коэффициентов нахождения решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (общий случай). (13.7.8)

13.7.8. Метод неопределенных коэффициентов нахождения решения д. у. L_n [y] = f(x) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

y_oн = y_oo + y_чн

y_oo находить научились,

y_чн тоже – методом вариации произвольных постоянных (Лагранжа).

В некоторых случаях вид одного из y_чн заранее ясен.

Вместо метода Лагранжа можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Частный случай 1. L_n [y] = P_m(x).

Правая часть уравнения есть многочлен степени m. _{ yчн тоже можно искать в виде многочлена.}

_{а) при pn  0 yчн(x) той же степени m, yчн = A1x}^m _{+ A2x}^m–1 _{+ … + Am+1.}

_{б) при pn = 0, если последнее ненулевое слагаемое в левой части уравнения имеет вид pn–k y}^(k)_,

_{то степень многочлена yчн(x) должна быть на k единиц выше, чем в правой части:}

_{yчн = x}^k _(A1x^m _{+ A2x}^m–1 _{+ … + Am+1).}

_{Замечание. В ситуации а) характеристический многочлен заданного дифференциального уравнения не имеет корня =0; в ситуации б) у него есть корень =0 кратности k.}

Частный случай 2. L_n [y] = Ae^x. _{yчн =Be}^x_.

_{Подставим в уравнение:}L_n [Be^x] = Ae^x Be^x M_n() = Ae^x, 

_{yчн найдено, если Mn()0. }

_{а) если характеристический многочлен заданного д. у. не имеет корня  = , то yчн = Be}^x_;

_{б) если характеристический многочлен имеет корень  =  кратности k, то yчн = Bx}^k _e^x_.

Общий случай специальной правой части.

Определение. Назовем специальными функции вида

, – многочлены степенейn₁ и n₂, R, R.

Заметим, что

• производные специальных функций также являются специальными функциями,

• любая специальная функция может быть решением линейного однородного уравнения L_n [y] = 0 при соответствующем значении n и соответствующих корнях характеристического многочлена,

• при  = 0

• при  = 0

• при  = 0 и  = 0

• при

• при

Теорема. Если в д. у. L_n [y] = f c постоянными коэффициентами то можно найтигдеr – число корней характеристического многочлена, равных числу _f =+i, задаваемому правой частью уравнения (специальной функцией f(x)), и – многочлены степениm = max{n₁, n₂}

c неизвестными коэффициентами, определяемыми при подстановке y_чн в уравнение.