20. Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись. Структура общего решения. (14.3, 14.4)
14.3. Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись. Структура общего решения.
В
матричной форме:
где
Задача Коши будет корректной, если в т. x0 непрерывны коэффициенты aij(x) и функции fi (x).
Определение. Если fi(x) 0, система линейных уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Ввиду тесной связи системы с уравнением n-го порядка верны следующие утверждения (без доказательства).
Теорема
1.
Y1,
Y2,
… Yn
– линейно
независимые решения
(фундаментальная система решений, базис
пространства решений), С1,
С2,
…, Сn
– произвольные
постоянные.
Теорема
2.
Решения Y1,
Y2,
… Yn
системы
линейно
независимы
линейно независимы соответстующие
столбцы начальных условий задач Коши
(в точке интервала, на котором непрерывны
aij
и fi).
Теорема
3.
14.4. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
I метод: сведение к одному уравнению.
II метод.
(однородная
линейная система)
Будем
искать решения в виде
,где
числа
и
– подлежат определению. Подставим и
сократим на
:
или,
в матричной записи,
есть собственное число матрицы А, а Г – ее собственный вектор.
Если все собственные числа действительны и различны,
Другие ситуации рассматривать не будем. И не будем вторым методом решать линейные неоднородные системы.
Все делается, как для уравнений высших порядков, громоздко.
Немного о третьем методе, удобном для д.у. и систем д.у.
Применение функций комплексного переменного позволяет с помощью специального интегрального преобразования обеих частей уравнений системы перевести ее в систему алгебраических уравнений.
Не требуется рассмотрение различных частных случаев, связанных с набором корней характеристического многочлена или собственных чисел матрицы системы.
Можно решать задачу Коши без предварительного нахождения общего решения.