12.3.3. Теорема о среднем значении для тройного интеграла.

Определение. Число f_ср = называется средним значением интегрируемой функции f(x,y,z) в области Ω.

Теорема. Если f(x, y, z) непрерывна в области Ω, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью, то  M₀(x₀, y₀, z₀)  Ω: f(M₀) =,или

11. Тройной интеграл. Понижение размерности задачи в декартовых координатах. (12.3.5)

12.3.5. Вычисление тройного интеграла. Понижение размерности задачи в декартовых координатах.

Частный случай области Ω:

Понижаем размерность задачи:

после первого интегрирования по переменной z

по всем вертикальным отрезкам, заполняющим область, тройной интеграл сведется к двойному интегралу по области D (проекции Ω на плоскость (x, y)).

Замечание 1. Способы нахождения области D (проекции Ω на плоскость (x, y)).

а). Если стенки тела перпендикулярны плоскости (x, y), то их уравнения не содержат z (не накладывают на ее значения никаких ограничений). В плоскости (x, y) эти уравнения задают границы области D.

б). Граница области D (или ее часть) может быть проекцией линии пересечения «дна» и «крышки», т.е. поверхностей, ограничивающих область Ω снизу и сверху. Уравнение такой границы получается исключением z из системы

Замечание 2. Все, сказанное в этом пункте, можно переформулировать для областей вида

где D есть проекция Ω на плоскость (y, z), и для областей видагде D есть проекция Ω на плоскость (z, x).

12. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам. (12.3.6-12.3.8)

12.3.6. Вычисление тройного интеграла с помощью замены переменных. Общая формула замены переменных.

Функции непрерывно дифференцируемы (их частные производные непрерывны), – модуль якобиана,

12.3.7. Переход к цилиндрическим координатам.

Пусть D такова, что в плоскости (x, y) лучше ввести полярные координаты.

Система координат (, , z) называется цилиндрической системой координат в трехмерном пространстве.

x =  cos , y =  sin , z = z;

12.3.8. Переход к сферическим координатам.

Сферическая система координат (, , r):

r – длина радиус-вектора точки,  – угол между радиус-вектором точки и осью Oz,  – угол между проекцией радиус-вектора точки и осью Ox

Координатные поверхности: r = соnst  сфера радиуса r с центром в т. О;  = соnst  полуконус с вершиной в т. О и осью Oz (верхний полуконус при остром  и нижний – при тупом, При полуконус вырождается в плоскость z = 0);

= соnst  полуплоскость, перпендикулярная плоскости (x, y) и ограниченная осью Oz.0  r  +∞, 0    π, 0   < 2π.

x = r sin  cos , y = r sin  sin , z = r cos ;

(разложением по третьей строке)

^ Заметим, что x² + y² + z² = r², x² + y² = r² sin² .

13. Общая схема построения интеграла по множеству положительной меры.(12.4)

12.4. Общая схема построения интеграла по множеству положительной меры.

Определения и, следовательно, свойства интегралов

а) Римана по отрезку [a, b] (a < b),

б) двойного,

в) тройного

практически совпадают.

В связи с изменением размерности задачи меняется множитель в интегральной сумме, на который умножается значение функции. Это либо длина, либо площадь, либо объем элемента разбиения множества, по которому мы интегрируем, –

всегда положительная величина (обозначим ее μ и назовем мерой множества), обладающая свойством μ(AB) = μ(A) + μ(B), если AB – множество нулевой меры (аддитивность).

Во всех случаях построения интеграла по множеству

  Rⁿ конечной меры повторяются следующие действия:

•  разбивается на конечное число аналогичных множеств _i малой меры, i = 1, 2, …, n;

•  _i интегрируемая функция f(M) заменяется константой, равной ее значению в какой-либо (произвольно выбранной) точке M_i^* _i ;

• составляется интегральная сумма

где μ_i – мера множества _i.

• вычисляется предел последовательности интегральных сумм при δ0, где δ – максимальный диаметр множеств _i, i = 1, 2, …, n. При этом автоматически n∞.

Во всех рассмотренных ранее случаях: если интегрируемая функция f(M) непрерывна, то этот предел  и не зависит от способа разбиения множества  и от выбора точек M_i^*.

Свойства построенных интегралов идентичны.

Замечание. Мы встретимся и с построением интегралов по аддитивной функции, которая не всегда положительна.

В последнем случае повторится лишь часть привычных свойств интеграла.

14. Дифференциал длины дуги гладкой кривой. Длина кривой. Вычисление длины. (12.5.1)